Нечітка множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \mhoмножина (класична). Нечітка множина A задається своєю функцією належності:

 \mu_{\mathbf{A}} :\qquad \mho \to [0; 1]

Якщо  \mu_{\mathbf{A}} приймає значення {0, 1} то множина — класична, в іншому випадку, така множина є нечіткою.

Носій нечіткої множини A — це


\mathrm{supp} \mathbf{A} = \left\{ x \in \mho \mid \mu_{\mathbf{A}} > 0 \right\}

А множина рівня α (де α ∈ [0; 1]) це:


\mathbf{A}_{\alpha} = \left\{ x \in \mho \mid \mu_{\mathbf{A}} \geq \alpha \right\}

Тоді


\mathrm{supp} \mathbf{A} = \bigcup_{\alpha >0} \mathbf{A}_\alpha

А порожня множина \mu_\emptyset(x) =0, універсальна множина \mu_\mho(x) = 1.

Можна казати, що \mu_{\mathbf{A}}(x) це ступінь належності елемента x до множини A.

Якщо \mho = \mathbb R то нечіткі множини називають нечіткими числами.

Операції над нечіткими множинами[ред.ред. код]

Домінування (Вміщення)[ред.ред. код]

Нехай A і B - нечіткі множини на універсальній множині E.

Говорять, що A міститься в B, якщо ∀ x ∈ E µA(x) < µB(x).

Позначення: A ⊂ B.

Коли використовують термін "домінування", тобто у випадку якщо A ⊂ B, говорять, що B домінує A.

Рівність[ред.ред. код]

A і B рівні, якщо ∀ x ∈ E µA(x) = µB(x).

Позначення: A = B.

Доповнення[ред.ред. код]

Нехай µ = [0, 1], A і B - нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюють один одного, якщо ∀ x ∈ Ε µA(x)= 1 - µB(x).

Позначення: B= \dot{B} або A= \dot{A}

Очевидно, що \dot{A} =A. (Доповнення визначене для µ = [0, 1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого M).

Доповнення нечіткої множини А позначається символом \overline{A} і визначається

\overline{A} = \int_{U}^{} \frac{1-\mu\_A(u)}{u}

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

Перетин[ред.ред. код]

Перетин А і В позначається A ∩ B і визначається

A \cap B = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \widehat{I}\mu\_B(u)  \  \right)}{u}

Перетин відповідає логічній зв'язці «і». A∩B – найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в A і B: µA∩B(x)= µin(µA(x), µB(x)).

Об'єднання[ред.ред. код]

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

A + B = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \widehat{I}\mu\_B(u)  \  \right)}{u}

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В – найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= µax(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сума[ред.ред. код]

А⊕B = (А - B)∪(B - А) = (А ∩ ) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA - B(x) = max{[min{µA(x), 1 - µB(x)}];

[min{1 - µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначається[ред.ред. код]

AB = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \mu\_B(u)  \  \right)}{u}

Піднесення до степеня[ред.ред. код]

a>0, A^e=\int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \  \right)^e}{u}

Концентрація (частковий випадок піднесення до ступеня):[ред.ред. код]

 CON (A) = A^2

Розтягування (розмивання):[ред.ред. код]

 DIL(A) = \sqrt{A}

Джерела[ред.ред. код]

  • О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ. 
  • В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс]. 

Див. також[ред.ред. код]