Універсальна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Універсальна множина (універсум)  — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: XU=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Рассела). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина грає ролю одиничного елементу.

Також для будь-якої множини X справедливо: XU=U.

Властивості універсальної множини[ред.ред. код]

  • Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
    \forall a \colon a \in U
  • Зокрема, універсальна множина містить сама себе в якості одного з елементів.
    U \in U
  • Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
    \forall A \colon A \subseteq U
  • Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
    U \subseteq U
  • Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
    \forall A \colon U \cup A = U
  • Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
    U \cup U = U
  • Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
    \forall A \colon U \cap A = A
  • Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
    U \cap U = U
  • Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
    \forall A \colon A \setminus U = \varnothing
  • Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
    U \setminus U = \varnothing
  • Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
    \forall A \colon U \setminus A = \overline{A}
  • Доповненням універсальної множини є порожня множина.
    \overline{U} = \varnothing
  • Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
    \forall A \colon U \triangle A = \overline{A}
  • Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
    U \triangle U = \varnothing

Див. також[ред.ред. код]