Механіка Лагранжа

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Меха́ніка Лагра́нжа — одне із можливих формулювань класичної механіки, аналогічне за своєю суттю законам Ньютона.

У фізиці механіка в формулюванні Лагранжа оперує із узагальненими координатами та швидкостями й визначає закони еволюції механічної системи, спираючись на принцип найменшої дії.

Механіка в формулюванні Лагранжа цілком аналогічна ньютонівський і виводиться із неї. Водночас вона є зручною при розгляді систем із зв'язками. Наприклад, при вивченні коливань маятника зручно записувати рівняння руху через кут відхилення від вертикалі. Формалізм Лагранжа дозволяє простим чином отримати й такі рівняння руху.

Формулювання

Функція Лагранжа

Для опису фізичної системи вводяться узагальнені координати $q_i$ й відповідні узагальнені швидкості $\dot{q}_i$. Функція Лагранжа $\mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i)$ визначається як

$\mathcal{L} = T - U$

де $T$ та $U$ — кінетична й потенційна енергія системи, відповідно.

Рівняння Ейлера—Лагранжа

Рівняння руху записуються, як

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0$

Ці рівняння, які називають рівняннями Ейлера-Лагранжа, виводяться із принципу найменшої дії.

У разі, коли в механічній системі діють непотенціальні сили рівняння руху набирає вигляду

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = Q_i^\prime$,

де $Q_i^{\prime}$ — узагальнена непотенціальна сила.

Приклади використання

Механічний осцилятор

У випадку класичного одновимірного механічного осцилятора (без тертя) функція Лагранжа має такий вигляд:

$\mathcal{L}(x,\dot x,t) = \frac{1}{2}m\dot x^2 - \frac{1}{2}kx^2$

$k -$ коефіцієнт пружності.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = m\ddot x + kx = 0$

тобто такий же, як і у випадку стандартиного підходу без використання функції Лагранжа.

Електричний осцилятор

У випадку класичного електричного осцилятора (без втрат) функція Лагранжа має такий вигляд:

$\mathcal{L}(q,\dot q,t) = \frac{1}{2}L_0\dot q^2 - \frac{1}{2C_0}q^2$

$L_0 -$ індуктивність та $C_0 -$ ємність, LC-контура, а $q -$ електричний заряд.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = L_0\ddot q + \frac{1}{C_0}q = 0$

тобто такий же, як і у випадку підходу, що не використовує функцію Лагранжа.

Релятивістська механіка

Функція Лагранжа у випадку релятивістського руху вільної частинки з масою $m$ має вигляд:

$\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

де $c -$ швидкість світла, а $v -$ швидкість частинки.

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Дія (фізика)
• Узагальнені координати

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. — 472 с.
• Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
• Лагранж Л. Аналитическая механика (в 2-х томах). — М.: ГИТТЛ, 1950. — 1036 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
• Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. — 328 с.