Відкриті математичні питання

Нерозв'язані пробле́ми (або Відкриті проблеми) — гіпотези, що видаються вірними, але дотепер не доведені.

У науковому світі популярна практика складання відомими вченими або організаціями списків відкритих проблем, актуальних на сучасний момент. Зокрема, відомими списки математичних проблем є: Проблеми Гільберта, Проблеми Ландау, Проблеми тисячоліття та Велика Теорема Ситника. Згодом опубліковані проблеми з такого списку можуть бути розв'язані і, таким чином, втратити статус відкритих. Наприклад, більшість із проблем Гільберта, представлених ним у 1900 році, тепер так чи інакше розв'язані.

Теорія чисел

Гіпотези про прості числа

• Сильна гіпотеза Гольдбаха. Кожне парне число, більше 2, можна представити у виді суми двох простих чисел.
• Слабка гіпотеза Гольдбаха. Кожне непарне число, більше 5, можна представити у виді суми трьох простих чисел (доведена для всіх досить великих непарних чисел).
• Відкритим є питання нескінченності кількості простих чисел у кожній з таких послідовностей:

Послідовність	Назва
$2^{n}-1$	число Мерсенна
$n^{2}+1$	4-а проблема Ландау
$n\cdot 2^{n}+1$	числа Каллена
$2^{2^{n}}+1$	числа Ферма
$F_{n}$	числа Фібоначчі
пари (n, n+2)	прості числа-близнюки
пари (n, 2n+1)	прості числа Софі Жермен

• Гіпотеза Ердеша. Чи правда, що якщо сума обернених величин для деякої множини натуральних чисел розбіжна, то в цій множині можна знайти як завгодно довгі арифметичні прогресії?

Гіпотези про досконалі числа

• Не існує непарних досконалих чисел.
• Існує нескінченна кількість досконалих чисел.

Гіпотези про дружні числа

• Не існує взаємно простих дружніх чисел.
• Будь-яка пара дружніх чисел має однакову парність.

Інші гіпотези

• Злегка надлишкових чисел не існує.
• Паралелепіпеда з трьома цілочисловими ребрами і чотирма цілочисловими діагоналями не існує.
• Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1).
• Гіпотеза Сінгмастера. Позначимо через $N(a)$ кількість разів, що натуральне число $a$, більше одиниці, зустрічається в трикутнику Паскаля. Девід Сінгмастер показав, що $N(a)=O(\ln a)$, що було покращено до $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{-3}\ln a)$. Чи вірно більш сильне твердження $N(a)=O(1)$?

Геометрія

• У задачі про переміщення канапи не доведена максимальність найкращої оцінки знизу (константи Гервера).
• Задача про 9 кіл. Не існує 9 кіл, таких, що кожні два перетинаються, і центр кожного кола лежить поза іншими колами. (Час виконання алгоритму перевірки — занадто великий)
• Гіпотеза Тепліца. Многокутник P вписаний в криву Жордана C, якщо всі вершини P належать C. Чи можна на кожній кривій Жордана відшукати вписаний квадрат?

Алгебра

• Зворотна теорема теорії Галуа. Для будь-якої скінченної групи H існують поля F і G, такі, що G є розширенням F і Gal(G/F) ізоморфна H.
• Будь-яка скінченнопредставлена група, кожен елемент якої має скінченний порядок, — скінченна.

Для скінченнопородженої групи (більш слабка умова) це неправильно.

Аналіз

• Стала Ейлера-Маскероні — ірраціональна.
• Числа $e+\pi$ і $e\pi$ — ірраціональні.
• Гіпотеза Рімана. Усі нетривіальні нулі дзета-функції лежать на прямій Re(z)=½.
• Дотепер нічого не відомо про нормальність таких чисел, як $\pi$ і $e$

Комбінаторика

• Існування матриці Адамара порядку, кратного 4.
• Існування скінченної проективної площини будь-якого натурального порядку.
• Гіпотеза Кацети-Хагвіста.
• Невідомо кількість обходів шахівниці конем.

Аксіоматична теорія множин

У даний час найбільш розповсюдженою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело — Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

Обчислювальна математика

• Визначити граничний рівень апроксимації n-стадійного методу Рунге-Кутти (1-стадійний = метод Ейлера = O(h), 2-стадійний = модифікований метод Ейлера = O(h²), 4-стадійний = класичний метод Рунге-Кутти = O(h^4), 5-стадійний = метод Фельберга = теж O(h^4)).

Відомі проблеми, недавно розв'язані

• Проблема трійок Буля-Піфагора (2016)
• Проблема чотирьох фарб
• Велика теорема Ферма
• Гіпотеза Пуанкаре

Див. також

• Проблеми Ландау
• Проблеми тисячоліття
• Проблеми Гільберта
• Список найважливіших наукових проблем

Література

• Станислав Мартин Улам. Нерешённые математические задачи = A Collection of Mathematical Problems / Перевод с английского З. Я. Шапиро. — Москва : «Наука», 1964. — 168 с. — (Современные проблемы математики) — 12 000 прим. (рос.)

Посилання

• Open Problem Garden [Архівовано 10 березня 2010 у Wayback Machine.](англ.)