Рівняння Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Рівняння Дірака — релятивістсько-інваріантне рівняння руху для біспінорного класичного поля електрона, застосовне також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1/2. Його вперше записав Поль Дірак у 1928.

Рівняння Дірака призвело до пояснення напівцілого спіну електрона та до відкриття античастинок, якими для електрона є позитрони. Частинку зі спіном 1/2 описує нерелятивістське рівняння Паулі, до якого зводиться рівняння Дірака при малих енергіях.

Вигляд рівняння[ред.ред. код]

Рівняння Дірака записується в вигляді

 \left(mc^2\alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j \hat{p}_j\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)

де m\  — маса електрона (або іншого ферміона, що описується рівнянням), c\  — швидкість світла, \hat{p}_j = - i \hbar \partial_j = - \bar \frac{\partial}{\partial x_j} — три оператори компонент імпульсу (x, y, z),  \hbar = {h \over 2 \pi} ,  h  — стала Планка, x=(x, y, z) і t просторові координати і час, відповідно, та \psi(\mathbf{x},t) — чотирикомпонентна комплексна хвильова функція (біспінор).


 \psi(\mathbf{x},t) = \left( \begin{matrix} \psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t)  \end{matrix} \right)


\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\  — лінійні оператори над простором біспінорів, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані таки чином, що кожна пара таких операторів антикомутує, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i\ , де i\ne j і індекси i,j\ змінюються від 0 до 3,
\alpha_i^2 = 1 для i\ від 0 до 3.

У даному представленні ці оператори є матрицями розміру 4×4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антикомутації) і називаються альфа-матрицями Дірака

Весь оператор в дужках в лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамільтоніаном Дірака, оскільки оператором Дірака зазвичай називають коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді =0 (як описано в наступному зауваженні).

У сучасній фізиці часто використовується коваріантна форма запису[1] рівняння Дірака (детальніше див. нижче):

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0

Побудова рівняння Дірака[ред.ред. код]

Рівняння Дірака — релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера:

 \hat{H} \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.

Для зручності ми[Хто?] будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ(x,t). В цьому представленні рівняння Шредінгера записується у вигляді

 \hat{H} \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t} ,

де гамільтоніан  \hat{H} тепер діє на хвильову функцію.

Гамільтоніан потрібно визначит так, щоб він описував повну енергію системи. Для нерелятивістського вільного електрона (який ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів) гамільтоніан має вигляд аналогічний кінетичній енергії в класичній механіці (якщо не брати до уваги ні релятивістських поправок, ні спіну):

 \hat{H} = \sum_{j=1}^3 \frac{\hat{p}_j^2}{2m},

де pj — оператори проекцій імпульсу, де індекс j =1,2,3 означає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

\hat{p}_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial x_j}.

Щоб описати релятивістську частинку, потрібно знайти інший гамільтоніан. При цьому є підгрунтя вважати, що оператор імпульсу зберігає щойно наведене визначення. Відповідно до релятивістського співвідношення повну енергію системи можна виразити як

E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.

Це приводить до виразу

 \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}.

Це не зовсім задовільне рівняння, оскільки не видно явної лоренц-коваріантності (яка виражає формальне рівноправ'я часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того — написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак, піднесення до квадрату лівої та правої частин приводить до явно лоренц-коваріантного рівняння Клейна-Гордона. Дірак запропонував, що поскільки права частина рівняння містить першу похідну по часу, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку по просторових координатах (інакше кажучи — оператори імпульсу в першій степені). Тоді, приймаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, — постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi

— це і є рівняння Дірака (для вільної частинки).

Однак, коефіцієнти \alpha_i\ ще не визначені. Якщо припущення Дірака правильне, то права частина, піднесена до квадрату, повинна дати

 (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2

тобто

 \left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2 
= (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2.

Розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, можна знайти умови на α:

 
\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0\,, для всіх  i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),
 
\alpha_i^2 = 1\,, для всіх  i = 0, 1, 2, 3.\

або, скорочено записавши все разом:

 \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\ для \ i,j = 0, 1, 2, 3,

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антикомутаторів:


\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\ для \  i,j = 0, 1, 2, 3.

де {,} — антикомутатор, що визначається як {A,B}≡AB+BAδij — символ Кронекера, який приймає значення 1 якщо два індекси рівні, а в протилежному випадку - 0. Див. алгебра Кліфорда.

Поскільки такі співвідношення не можуть виконуватись для звичайних чисел (адже числа комутують, а α — ні), залишається припустити, що α — це деякі лінійні оператори або матриці (тоді одиниці й нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничним і нульовим оператором або матрицею) і можна намагатися знайти конкретний набір α, скориставшись даними співвідношеннями (і це вдається).

Стає зрозуміло, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентною (тобто не скалярною), а векторною, маючи на увазі вектори якогось абстрактного «внутрішнього» простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітові, так щоб гамільтоніан теж був ермітовим оператором. Найменьша розмірність матриць, що задовольняють вказаним критеріям, чотири, тобто це комплексні матриці 4×4, хоча конкретний вибір матриць (або представлення) не є однозначним. Ці матриці утворюють групу, в якій групова операція - матричне множення. Хоча вибір представлення цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція в такому разі повинна бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаним прямо з векторами звичайного простору-часу) біспінорним полем.

У вступі було наведено представлення, яке використовував Дірак. Це представлення можна правильно записати як

\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix}

де 0 і I — 2×2 нульова і одинична матриці відповідно, і σj (j = 1, 2, 3) — матриці Паулі, що є матричним представленням кватерніонів, про які давно відомо, що вони антикомутують.

Гамільтоніан в цьому рівняння

 \hat{H} = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j\,

назавається гамільтоніаном Дірака.

Для звичайного рівняння Дірака в двовимірному просторі або в тривимірному, але з m=0, замість альфа-матриць достатньо лише матриць Паулі; замість чотирикомпонентного біспінорного поля при цьому роль хвильової функції буде виконувати двокомпонентне спінорне.

Релятивістсько-коваріантна форма[ред.ред. код]

Коваріантний запис рівняння Дірака для вільної частинки має такий вигляд:

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,

або, використовуючи правило Ейнштейна сумування по індексах, що повторюються, так:

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Пояснення[ред.ред. код]

Часто корисно буває користуватись рівнянням Дірака в релятивістсько-коваріантній формі, в якій просторові та часові координати формально рівноправні.

Оператор імпульсу \hat{p} діє як просторова похідна:

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).

Множачи рівняння Дірака з кожного боку на α0 (згадуючи що α0²=I) і підставляючи його у визначення для \hat{p} , рівняння Дірака набирає вигляду

 \left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0.

Чотири гамма матриці визначаються як:

 \gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \alpha_0 \alpha_j.

Ці матриці мають властивісь, що

\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3

де η метрика плоского простору. Ці співвідношення визначають алгебру Кліфорда, що називається алгеброю Дірака.

Рівняння Дірака тепер можна записати, використовуючи чотири-вектор x = (ct,x), як

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

У цій формі рівняння Дірака можна отримати з допомогою знаходження екстремуму дії

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x

де

\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \psi^\dagger \gamma_0

називається приєднаною матрицею Дірака для ψ. Це основа для використання рівняння Дірака в квантовій теорії поля.

В цій формі електромагнітну взаємодію можна просто додати розширивши частинну похідну до калібрувальної похідної:

\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu.

Запис з використанням «Feynman slash»[ред.ред. код]

Інколи використовується запис з використанням «перекреслених матриць» («Feynman slash»). Прийнявши позначення

a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu,

бачимо, що рівняння Дірака можна записати як

(i \hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0

і вираз для дії записується у вигляді

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \partial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x.


Діраковські білінійні форми[ред.ред. код]

Є п'ять різних (нейтральних) діраковських білінійних форм без похідних:

де \sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-} і \gamma^{5}=\gamma_{5}=\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\lambda}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3} .

Розв'язки[ред.ред. код]

Характерною особливістю рівняння Дірака є те, що для вільної частинки воно має 4 розв'язки, які інтерпретуються як

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Оскільки і форма з альфа-матрицями лоренц-коваріантна, правильніше називати форму з гамма-матрицями просто чотиривимірною (а при заміні звичайних похідних на коваріантні вона дасть загальноковаріантний запис рівняння Дірака)

Посилання[ред.ред. код]

Лекції з квантової фізики

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
  • Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск: РХД, 2009. — 248 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Дирак П. А. М. Релятивистское волновое уравнение электрона // Успехи физических наук. — 129 (1979) (4) С. 681-691.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
  • Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957. — 476 с.
  • Shankar R. Principles of Quantum Mechanics. — Plenum, 1994.
  • Thaller B. The Dirac Equation. — Springer, 1992.
  • Рівняння Дірака в «Фізичній енциклопедії»


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.