Закони Кеплера

Ілюстрація законів Кеплера.
(1) Орбіти планет є еліпсами з фокусами: F і F₁ у першої планети та F і F₂ у другої. Сонце перебуває у фокусі F.
(2) Два затінених сектори S і S' мають однакову площу. Відрізок, що з'єднує F з планетою, покриває S і S' за однаковий час.
(3) Часи проходження повної орбіти першою і другою планетою співвідносяться як a₁^3/2 : a₂^3/2.

Закони Кеплера — три емпіричні залежності, що описують рух планет навколо Сонця. Названо на честь німецького астронома Йоганеса Кеплера, який відкрив їх шляхом аналізу спостережень руху Марса навколо Сонця, здійснених данським астрономом Тихо Браге.

Перший закон Кеплера

Всі планети обертаються навколо Сонця еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких перебуває Сонце (всі орбіти планет і тіл Сонячної системи мають один спільний фокус, в якому, власне, і розташовано Сонце).

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка — афелієм.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі (середньої відстані планети до Сонця). Коли фокуси й центр збігаються, еліпс перетворюється на коло. Орбіти планет — еліпси, які мало відрізняються від кіл; їх ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.

Другий закон Кеплера

Радіус-вектор планети (тіла Сонячної системи) за рівні проміжки часу описує рівновеликі площі.

Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти: що ближча планета до Сонця, то більша її швидкість. Швидкість руху планети у перигелії найбільша, а в афелії — найменша. Однак площа, яку «замітає» радіус-вектор за певний проміжок часу, не залежить від того, в якій частині орбіти перебуває планета. Площа, яку «замітає» радіус вектор за одиницю часу називається секторною (сегментною) швидкістю.

Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети орбітою.

З погляду класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу.

Третій закон Кеплера

Квадрати зоряних періодів обертання планет відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт.

На відміну від двох перших законів Кеплера, що стосуються властивостей орбіти кожної окремо взятої планети, третій закон пов'язує властивості орбіт різних планет між собою. Якщо сидеричні періоди обертання двох планет $T_{1}$ та $T_{2}$, а довжини великих півосей їхніх орбіт, відповідно, $a_{1}$ та $a_{2}$, то виконується співвідношення:

$\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}.$

Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сонця з їхніми зоряними періодами обертання і надає змогу встановити відносні відстані планет від Сонця, інакше кажучи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти.

Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней, але її абсолютне значення було визначено пізніше, лише у XVIII столітті.

Відношення кубу півосі до квадрата періоду обертання є сталою для всіх планет Сонячної системи і залежить лише від маси Сонця і гравітаційної сталої, як довів пізніше Ньютон:

${\frac {a_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}}={\frac {GM_{\bigodot }}{4\pi ^{2}}}$.

Таким чином, це співвідношення дає можливість визначити масу Сонця.

Відхилення від законів Кеплера

З погляду фізики, закони Кеплера описують рух матеріальної точки навколо нерухомого центра мас у межах ньютонівської теорії гравітації. Насправді на рух планети впливає сила тяжіння не лише з боку Сонця, а й з боку інших планет. Сонце має скінченну масу, а отже центр Сонця також рухається внаслідок тяжіння планет. Крім того, ньютонівська теорія не враховує ефекти, які можна розрахувати лише у рамках загальної теорії відносності. Перелічені фактори призводять до збурень — невеликих відхилень фактичного руху планет від законів Кеплера.

Див. також

• Задача двох тіл

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.

Посилання

• (укр.) Сюжет про закони Кеплера і Сонячну систему — французький науково-популярний серіал «Всі на орбіту!» (фр. Tous sur orbite !).