G₂

G₂ в математиці — назва трьох простих груп Лі (комплексної, дійсної компактної і дійсної розділеної), пов'язаної з ними алгебри Лі ${\mathfrak {g}}_{2}$, а також кількох алгебричних груп. Є найменшою з п'яти виняткових простих груп Лі, рангом 2 і розмірністю 14, з точними нетривіальними скінченновимірними лінійними представленнями. Всього G₂ має два фундаментальних представлення розмірністю 7 і 14, перше з яких відповідає короткому кореню системи коренів G₂.

Компактна форма G₂ є групою автоморфізмів алгебри октоніонів або підгрупою групи SO(7), що залишає на місці фіксований 8-вимірний спінор (в її спінорному представленні).

Реализації

Існують 3 прості дійсні алгебри Лі, ассоційовані з даної системою коренів.

Алгебричні властивості

Схема Динкіна

Система коренів G₂

Незважаючи на те, що кореневі вектори можна розмістити в 2-вимірному просторі, більш симетричним виглядає їх вираження трьома координатами, сума яких дорівнює нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

і прості додатні кореневі вектори

(0,1,−1), (1,−2,1).

Група Вейля/Кокстера

Для алгебры G₂ це — група диедра D₁₂ 12 порядку.

Матриця Картана

${\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}$

Спеціальні голономії

G₂ — одна з тих спеціальних груп, які можуть бути групами голономії ріманової метрики. Многовиди, що мають G₂-голономії, називаються G₂-многовидами.

Посилання

• John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205 [Архівовано 9 грудня 2008 у Wayback Machine.]. Онлайн HTML версія [Архівовано 6 листопада 2019 у Wayback Machine.].