Унітарна група

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

Унітарна група — група унітарних матриць з рангом n, групова операція якої — множення матриць. Позначається U(n).

Модуль визначника унітарної матриці дорівнює 1. Важливим частковим випадком унітарної групи є спеціальна унітарна група — група унітарних матриць з визначником 1. Позначається SU(n).

Група U(n) та її підгрупа SU(n) використовуються в квантовій теорії поля.

Група U(1) є групою комплексних чисел із модулем одиниця, тобто чисел, які можна подати у вигляді:

$z=e^{i\varphi }$,

де $\varphi$ - дійсне число.

Тензорний простір унітарних груп

Нехай простір тензорів $n$-рангу $T^{i_{1}i_{2}...i_{n}}\,\,(i_{1},i_{2},...,i_{n}=0,1,...,r)$ перетворюється по $n$-кратному прямому добутку представлень унітарної групи $U_{r}.$ Приведемо цей простір на симетричній групі $S_{n},$ яка представляє індекси $i_{1},i_{2},...,i_{n},$ і отримані таким чином $S_{n}$-незвідні тензори позначмо через

$T{\begin{pmatrix}\lambda \mu \\\gamma \end{pmatrix}},$

де $\lambda$ - $S_{n}$-незвідне представлення (Схема Юнга), $\mu$ - його базис, а $\gamma$ - індекс кратності $S_{n}$-представлення $\lambda .$

Базис

$T{\begin{pmatrix}\lambda \mu \\\gamma \end{pmatrix}}$

є незвідним і по відношенню до перетворень групи $U_{r},$ причому $U_{r}$ - незвідне представлення позначається тією ж самою схемою Юнга $\lambda$, а $\mu$ має сенс індексу кратності $U_{r}$-незвідного представлення $\lambda$.

Див. також

• Ортогональна група