Квадратні трикутні числа

Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.

У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) - число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 послідовність A001110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Детальні формули

Write N_k for the kth square triangular number, and write s_k and t_k for the sides of the corresponding square and triangle, so that

$N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.$

Define the triangular root of a triangular number N = n(n + 1)2 to be n. From this definition and the quadratic formula,

$n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.$

Therefore, N is triangular (n is an integer) if and only if 8N + 1 is square. Consequently, a square number M² is also triangular if and only if 8M² + 1 is square, that is, there are numbers x and y such that x² − 8y² = 1. This is an instance of the Pell equation with n = 8. All Pell equations have the trivial solution x = 1, y = 0 for any n; this is called the zeroth solution, and indexed as (x₀, y₀) = (1,0). If (x_k, y_k) denotes the kth nontrivial solution to any Pell equation for a particular n, it can be shown by the method of descent that

${\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}$

Hence there are an infinity of solutions to any Pell equation for which there is one non-trivial one, which holds whenever n is not a square. The first non-trivial solution when n = 8 is easy to find: it is (3,1). A solution (x_k, y_k) to the Pell equation for n = 8 yields a square triangular number and its square and triangular roots as follows:

$s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.$

Hence, the first square triangular number, derived from (3,1), is 1, and the next, derived from 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), is 36.

The sequences N_k, s_k and t_k are the OEIS sequences  A001110,  A001109, and  A001108 respectively.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу^:12–13

$N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.$

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають: ${\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}$ Відповідні детальні формули для s_k і t_k є наступними:^:13

${\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}$

Рівняння Пелля

The problem of finding square triangular numbers reduces to Рівняння Пелля in the following way.

Кожне трикутне число має форму t(t + 1)2, тому потрібно шукати такі цілі числа t, s, що:${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.$

Rearranging, this becomes

$\left(2t+1\right)^{2}=8s^{2}+1,$

and then letting x = 2t + 1 and y = 2s, we get the Діофантове рівняння

$x^{2}-2y^{2}=1,$

which is an instance of Pell's equation. This particular equation is solved by the Число Пелляs P_k as

$x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};$

and therefore all solutions are given by

$s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.$

There are many identities about the Число Пелля, and these translate into identities about the square triangular numbers.

Recurrence relations

There are recurrence relations for the square triangular numbers, as well as for the sides of the square and triangle involved. We have^:(12)

${\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}$

We have^:13

${\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}$

Other characterizations

All square triangular numbers have the form b²c², where bc is a convergent to the continued fraction for the √2.

A. V. Sylwester gave a short proof that there are an infinity of square triangular numbers, to wit:

If the nth triangular number n(n + 1)2 is square, then so is the larger 4n(n + 1)th triangular number, since:

${\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.$

We know this result has to be a square, because it is a product of three squares: 4, n(n + 1)2 (the original square triangular number), and (2n + 1)².

The triangular roots t_k are alternately simultaneously one less than a square and twice a square if k is even, and simultaneously a square and one less than twice a square if k is odd. Thus,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², and

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

In each case, the two square roots involved multiply to give s_k: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, and 29 × 41 = 1189.^{[джерело?]}

Додатково:

$N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};$

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. In other words, the difference between two consecutive square triangular numbers is the square root of another square triangular number.^{[джерело?]}

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:

${\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots$

Числові дані

По мірі зростання k, співвідношення t_ks_k наближається до √2 ≈ 1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. Таблиця нижче дає значення k між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 10¹⁶.

k	Nk	sk	tk	tksk	NkNk − 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Див. також

• Задача про гарматні кулі, on numbers that are simultaneously square and square pyramidal
• Шостий ступінь, numbers that are simultaneously square and cubical

Посилання

• Трикутні числа, які також квадратні на cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Рішення Майкла Даммета