Теорема про булеві прості ідеали

Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів.

Так як в теорії порядку більшість понять є двоїстими, і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — лема про ультрафільтри.

Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець).

Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF).

В рамках ZFC деякі з них еквівалентні аксіомі вибору (AC), а саме теорема про Булеві прості ідеали (BPI) — є набагато слабшою за AC.

Лема про ультрафільтр

Лема:

Довільний фільтр на множині є підмножиною деякого ультрафільтра (максимального фільтра) на цій множині. (В ZFC лема еквівалентна AC).

Це історично перше з усіх формулювань.

Теореми про прості ідеали

Враховуючи, що:

• Фільтр на множині є фільтром в булевій алгебрі утвореній булеаном цієї множини (див. представлення булевих алгебр).
• Для булевої алгебри поняття максимального фільтру та простого фільтру збігаються.
• Ідеал — це направлена нижня множина. Ідеал стає фільтром і навпаки, якщо замінити порядок на двоїстий до нього.

Перефразуємо лему про ультрафільтр та отримаємо, теорему:

Довільний ідеал булеана є підмножиною простого ідеала.

Ця теорема узагальнюється на різні алгебраїчні структури. Якщо в них мова йде про прості ідеали, то її позначають PIT, а якщо про максимальні — MIT. Зазвичай версії MIT строгіші зі версії PIT.

Теорема про прості булеві ідеали

Якщо B — булева алгебра, I — деякий її ідеал, та F — її фільтр, такий що I та F не перетинаються (не мають спільних елементів).

Тоді I міститься в деякому простому ідеалі B, що не перетинається з F.

Узагальнення для деяких ґраток

Теорема також справедлива для дистрибутивних ґраток та імплікативних ґраток. Але для них максимальні та прості ідеали не збігаються, тому:

• MIT для них еквівалентна AC.
• PIT для дистрибутивних ґраток еквівалентна BPI.
• Імплікативна ґратка не є самодвоїстою, тому для неї існують дві теореми.
  • MIT для дуальних понять імплікативних ґраток еквівалентна BPI.

Див. також

• Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)