Кватерніони

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	-k	−1	i
k	j	-i	−1

Кватерніо́н  — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Означення

Загальне означення

Кватерніони можна означити як суму

$q=a+bi+cj+dk,\,$

де $a,b,c,d\,$  — дійсні числа; $i,j,k\,$  — уявні одиниці, які справджують співвідношення:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\!$

з яких випливають ще й такі співвідношення:

${\begin{matrix}ij&=&-ji&=&k,\\jk&=&-kj&=&i,\\ki&=&-ik&=&j.\end{matrix}}$

Часто замість $i,j,k\,$ використовують позначення для уявних одиниць відповідно $i_{1},i_{2},i_{3},\,$ а також покладають $i_{0}:=1.\,$

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень: $e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}.\,$

Означення через вектор і скаляр

Кватерніон представляє собою пару $(a,{\vec {u}})$, де ${\vec {u}}$ — вектор тривимірного простору , а $a$ — скаляр, тобто дійсне число.

Через комплексні числа

Довільний кватерніон $q=a+bi+cj+dk$ можна представити як пару комплексних чисел у вигляді $q=(a+bi)+(c+di)j$.

Це еквівалентно $q=z_{1}+z_{2}j$, де $z_{1}=a+bi$,$z_{2}=c+di$ ( тобто $z_{1},z_{2}$ — комплексні числа , оскільки $i^{2}=-1,k=ij$)

Через дійсні матриці

Кватерніони також можна визначити як матрицю такого вигляду:

${\begin{pmatrix}{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}&{\begin{matrix}-c&-d\\-d&c\end{matrix}}\\{\begin{matrix}c&d\\d&-c\end{matrix}}&{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}\end{pmatrix}}$

Через комплексні матриці

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$,

де ${\bar {\alpha }},{\bar {\beta }}$ є комплексно-спряженими числами до $\alpha ,\beta$.

Пов'язані означення

• Для кватерніона $\,q=a+bi+cj+dk$,

дійсне число $\ a$ називають скалярною частиною кватерніона, ${\vec {v}}=bi+cj+dk\,$  — його векторною частиною.

Якщо ${\vec {v}}=0$, то кватерніон називається чисто скалярним, при $\,a=0$ — чисто векторним.

• Кватерніон ${\bar {q}}=a-bi-cj-dk$ називають спряженим до $\,q$.

• ${\overline {q_{1}q_{2}}}={\bar {q_{2}}}\,{\bar {q_{1}}}$

• Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначають як $|q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}.$

• $q^{-1}={\frac {\bar {q}}{|q|^{2}}}$

Легко перевірити, що $|p\cdot q|=|p|\cdot |q|$, тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; із цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Якщо $\,|q|=1,$ то $\,q$ називають одиничним кватерніоном

Алгебраїчні властивості

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, можна отримати такі властивості:

• додавання кватерніонів є асоціативним та комутативним,
• множення кватерніонів є асоціативним, але не є комутативним.

Із некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається $\mathbb {H}$. Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Чотири базисних кватерніони і чотири протилежних їм за знаком кватерніони утворюють групу кватерніонів по множенню (з порядком 8). Тобто $Q_{8}=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$

Детальніше про векторне представлення

Оскільки кватерніон $\ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$\ \mathbf {q} =(s,{\vec {v}}),\quad s=a,\quad {\vec {v}}=(b,c,d)$.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

$\ \mathbf {q_{1}q_{2}} =(s_{1},{\vec {v_{1}}})(s_{2},{\vec {v_{2}}})=(s_{1}s_{2}-{\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}},\;\;s_{1}{\vec {v_{2}}}+s_{2}{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}).$

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

$\ (0,{\vec {v_{1}}})(0,{\vec {v_{2}}})=(-{\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}},\;\;{\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}).$

Піднесення до степеня

Рівність

$e^{{\vec {v}}\varphi }=\cos \varphi +{\vec {v}}\cdot \sin \varphi$

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон у векторній (тригонометричній) формі

$q=|q|(\cos \varphi +{\vec {v}}\cdot \sin \varphi )=|q|e^{{\vec {v}}\varphi },\qquad |{\vec {v}}|=1.$

• Натуральний степінь:

$q^{2}=|q|^{2}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi +2{\vec {v}}\cos \varphi \sin \varphi )=|q|^{2}(\cos 2\varphi +{\vec {v}}\sin 2\varphi ).$

Використавши математичну індукцію отримаємо:

$q^{n}=|q|^{n}(\cos n\varphi +{\vec {v}}\sin n\varphi ),\qquad n\in \mathbb {N} .$

• Дійсний степінь:

$\ln(q)=\ln(|q|e^{{\vec {v}}\varphi })=\ln |q|+{\vec {v}}\varphi .$

$q^{a}=\left(e^{\ln(q)}\right)^{a}=\left(e^{\ln |q|+{\vec {v}}\varphi }\right)^{a}=\left(|q|e^{{\vec {v}}\varphi }\right)^{a}=|q|^{a}\,e^{{\vec {v}}\varphi \cdot a}=|q|^{a}(\cos a\varphi +{\vec {v}}\sin a\varphi ).$

Піднесення кватерніона до дійсного степеня застосовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Комплексні кватерніони

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що $a,\,b,\,c,\,d\,$ — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця $i\,$ не ототожнюється з кватерніонною одиницею $i,\,$ так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, із використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Історія

Пам'ятна табличка на мосту Брум Бридж в Дубліні: «Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, осяяний генієм, сер Вільям Ровен Гамільтон відкрив формулу множення кватерніонів» i² = j² = k² = ijk = −1

Бурхливий і надзвичайно плідний розвиток комплексного аналізу в XIX столітті стимулював у математиків інтерес до наступної задачі: знайти новий вид чисел, аналогічний за властивостями комплексним, що містить не одну, а дві уявні одиниці. Передбачалося, що така модель буде корисна для розв'язання просторових задач математичної фізики. Проте зусилля в цьому напрямку виявилася безуспішними.

1843 року новий тип чисел виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. Ці числа містили не дві уявні одиниці, як очікувалося, а три. Гамільтон назвав ці числа кватерніонами. Історики науки також виявили начерки по цій темі в неопублікованих рукописах Гаусса 1819—1820 років.
Модель досить швидко принесла практичну користь. Пізніше на основі алгебри кватерніонів Ґіббс та Гевісайд створили тривимірний векторний аналіз.

Сучасне використання

У XX столітті намагалися використовувати кватерніонні моделі у квантовій механіці й теорії відносності. Реальне застосування кватерніони знайшли в комп'ютерній графіці й програмуванні ігор, а також в обчислювальній механіці, в інерціальній навігації й теорії управління. У багатьох галузях було знайдено більш загальні й практичні засоби, ніж кватерніони. Наприклад, для дослідження рухів у просторі найчастіше застосовують матричне числення. Однак там, де важливо описувати тривимірний поворот за допомогою мінімальної кількості скалярних параметрів, застосування параметрів Родріго — Гамільтона (тобто, чотирьох компонент кватерніона повороту) часто виявляється кращим: такий опис ніколи не вироджується, тоді як опис поворотів трьома параметрами (наприклад, кутами Ейлера) завжди має критичні значення цих параметрів.

Джерела

• Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.