Медіана трикутника

Медіа́на — в геометрії, відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони

Властивості

Медіани трикутника виділені червоним кольором.

• Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
• Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами, а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
• В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1 (рахуючи від вершини).
• Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
• При афінному перетворенні площини медіана трикутника переходить в медіану.
• Якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, у п'ять разів більша за квадрат третьої сторони, тобто якщо $m_{b}\perp m_{c}$, то $b^{2}+c^{2}=5a^{2}$.
• В рівнобедреному трикутнику медіана проведена до основи є також бісектрисою і висотою.
• Медіана ізотомічно спряжена сама собі.

Формули

• $m_{a}^{2}={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}$, де $a$ — сторона трикутника, до якої проведена медіана; $b,c$ — інші сторони трикутника.
• Сума квадратів медіан довільного трикутника становить 3/4 від суми квадратів його сторін: $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$.
• Довжина сторони трикутника через медіани визначається наступним чином: $a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}$, де $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$ — медіани, проведені до відповідних сторін трикутника.
• Довжина медіани через прилеглі сторони та кут між ними: $m_{a}={1 \over 2}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}$

Див. також

• Бісектриса
• Висота трикутника
• Теорема Ляйбніца (геометрія)

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5

Посилання

• Медіана // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 122. — ISBN 978-966-7407-83-4.