Теорема про проєкції

Трикутник у теоремі про проєкції

Теорема про проєкції для гострокутного трикутника має вигляд:

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha$ ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }

або в інших позначеннях:

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

З теореми про проєкції випливає, що висота, опущена, наприклад, з вершини $C$, ділить протилежну їй сторону $c$ на дві частини $a\cos \beta$ і $b\cos \alpha$, починаючи від вершини $A$ до $B$ .

Застосування

Теорема про проєкції разом з іншими теоремами використовується при розв'язуванні трикутників.

Доведення

За теоремею косинусів

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

$\implies \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Виведемо формулу проекції для $c$, використовуючи три інші

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

$=(b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha )+(a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta )-2ab\cdot {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

$=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha +a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta -a^{2}-b^{2}+c^{2}$

$\implies c^{2}=3c^{2}-2c(b\cos \alpha +a\cos \beta )$

$-2c^{2}=-2c(b\cos \alpha +a\cos \beta )$

$\therefore c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

Q.E.D.

Використовуючи цей метод можна довести й рівняння для інших сторін

Див. також

• Розв'язування трикутників
• Теорема косинусів
• Теорема котангенсів
• Теорема Піфагора
• Теорема синусів
• Теорема тангенсів
• Тригонометричні тотожності
• Тригонометричні функції
• Формули Мольвейде