Теорема Менелая

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Menelaus' theorem 1.svg

Теорему Менелая пов'язують з Менелаєм з Александрії (бл. 100 до н. е.), це теорема про трикутник на площині. Нехай дано точки A, B, C, які утворюють трикутник ABC і точки D, E, F, які лежать на лініях BC, AC, AB. Тоді теорема стверджує що D, E, F колінеарні тоді і тільки тоді якщо:

\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =  1
Обернена теорема Менелая.  Якщо для точок A1, B1, C1, які лежать на прямих BC, CA i AB,що визначають трикутник ABC виконується співвідношення \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 то ці точки лежать на одній прямій.

В цій рівності AB та ін., означають лінійний розмір відрізків, який допускає від'ємне значення. Для прикладу, відношення AF / FB вважається додатнім тільки якщо пряма DEF перетинає сторону AB і так само для інших двох відношень.


Тригонометричний еквівалент:

\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1, де всі кути — орієнтовні.
  • В сферичній геометрії теорема Менелая набуває вигляду
\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.
  • В геометрії Лобачевського теорема Менелая набуває вигляду
\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.

Джерела[ред.ред. код]