Центр кола дев'яти точок

Трикутник, описане навколо нього коло (чорне) та його центр (чорний), висоти трикутника (частина висоти, розташована всередині кола Ейлера, синя, а поза ним — чорна) та коло дев'яти точок (синє) і його центр (синій)

Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга.

Властивості

• Центр кола дев'яти точок $O_{9}$ лежить на прямій Ейлера трикутника посередині між ортоцентром $H$ і центром описаного кола $O$. Центроїд $M$ також лежить на цій лінії на відстані 2/3 від ортоцентра до центра описаного кола, так, що

$O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.$

Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.

• Ендрю Гінанд 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині ортоцентроїдального кола (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутник.
• Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра $I$ задовольняє формулам:

$IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,$

$IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,$

$2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,$

де $R$ і $r$ — радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.

• Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника Ейлера. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
• Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра.
• З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
• Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки).
• За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного кола.

Точка Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок

• Точка Косніти трикутника, пов'язана з теоремою Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок. (див. рис.)
• Пряма $X(485)X(486)$, що проходить через дві точки Вектена $X(485)$ і $X(486)$, перетинає пряму Ейлера у центрі дев'яти точок трикутника $ABC$.

Координати

Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівні:

$\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)$

$=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$

$=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B$

$=bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.$

Барицентричні координати центра рівні:

$a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)$

$=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}~.$

Література

• Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вип. 3 (21 квітня).
• Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7 (21 квітня). Архівовано з джерела 26 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007. — 21 квітня.
• Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11 (21 квітня). Архівовано з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // The American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вип. 5 (21 квітня).
• William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11 (21 квітня). Архівовано з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (21 квітня).
• Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7 (21 квітня).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Центр кола 9 точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.