Топологічна група

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Топологі́чна гру́па — група, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Означення

Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

$G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy$

і операція взяття оберненого елементу

$G\to G:x\mapsto x^{-1}$

— неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

$G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}$

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел $\mathbb {Z}$ ввести топологію у якій відкритими множинами є $\varnothing ,\;\mathbb {Z}$ і інтервали виду $[n,\infty ),$ то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп G → H, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

Приклади

• Довільна абстрактна група із дискретною топологією або антидискретною топологією.
• Векторна група $\mathbb {R} ^{n}$ — прямий добуток n екземплярів адитивної групи дійсних чисел із стандартною топологією
• Коло — факторгрупа $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ групи $\mathbb {R}$ по підгрупі цілих чисел $\mathbb {Z}$
• Множина раціональних чисел $\mathbb {Q}$ із топологією породженою стандартною метрикою
• Множина p-адичних цілих чисел із топологією породженою p-адичною нормою
• Групи Лі є топологічними групами із додатковою структурою диференційовного многовиду
• Топологічні векторні простори є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір $\mathbb {R} ^{n}$ із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

Властивості

• Операція множення на групі задає відображення $l_{g}:x\to gx$ і $r_{g}:x\to xg.$ Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи $G\to g$ і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки $l_{g^{-1}}$ і $r_{g^{-1}}$є неперервними і оберененими до $l_{g}$ і $r_{g}$ то всі $l_{g}$ і $r_{g}$ є гомеоморфізмами.
• З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин $A,B\subset G$ позначити $gA:=l_{g}(A),\ Ag:=r_{g}(A),\ AB=\cup _{a\in B}aB$ то для відкритої (замкнутої) підмножини $A,$ усі підмножини $gA$ і $Ag$ теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин $A,B$ буде відкритою, то $AB$ і $BA$ будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то $AB$ і $BA$ будуть замкнутими підмножинами.
• У комутативній топологічній групі компактної підмножини $K$ і замкнутої множини $C$ також $KC$ буде замкнутою множиною.
• Якщо 𝒩 є базою околів одиничного елемента G то для кожного g ∈ G,

  x𝒩 := { xN : N ∈ 𝒩} є базою околів точки g. Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я ${\mathcal {B}}$ підмножин групи G, що містять одиничний елемент задовільняє умови:

  1. Для кожних $U,V\in {\mathcal {B}}$ існує $W\in {\mathcal {B}}$ для якої $W\subseteq U\cap V$
  2. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $V^{-1}V\subseteq U$
  3. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ і g ∈ U існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $Vg\subseteq U$
  4. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ і g ∈ G існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $gVg^{-1}\subseteq U$

то існує єдина топологія на групі для якої ${\mathcal {B}}$ є базою відкритих околів одиничного елемента.

• Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких $V^{-1}=V.$
• Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
  1. G є T₀-простором;
  2. G є гаусдорфовим простором;
  3. G є цілком регулярним простором;
  4. Множина { 1} є замкнутою у G;
  5. Для g ∈ G і g ≠ 1 існує окіл U одиничного елемента у G для якого g ∉ U.

• Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики $d_{1},\ d_{2}$ такі, що для всіх $x,y,g\in G$ виконуються рівності $d_{1}(x,y)=d_{1}(gx,gy)$ і $d_{2}(x,y)=d_{2}(xg,yg).$

Підгрупи і факторгрупи

• Підгрупа H топологічної групи G є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір G/H суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи G на G/H. Відображення q : G → G/H завжди є відкритим.

• Якщо H є нормальною підгрупою топологічної групи G, то факторгрупа G/H є топологічною групою щодо фактортопології.
• Компонента зв'язності одиничного елемента групи G₀ завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа G/G₀ є цілком незв'язаною.
• Для будь якого елемента g ∈ G компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд gG₀ або еквівалентно G₀g, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі G_0.

• Кожна відкрита підгрупа H є також замкнутою у G, оскільки доповнення H є об'єднанням відкритих множин gH для g ∈ G \ H. Якщо H є підгрупою G то і замикання H є підгрупою. Зокрема якщо H є нормальною підгрупою, то і замикання H є нормальною підгрупою у G.

• Факторпростір G/H є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа H є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі G. Якщо підгрупа H і факторпростір G/H є гаусдорфовими, то і група G є гаусдорфовою. Факторпростір G/H завжди є регулярним.

• Як і кожна абстрактна група топологічна група G задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп $\varphi \colon G\to H$ є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп $G\!{\big /}\!{\ker \varphi }$ і образу гомоморфізма $\varphi$ є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор $T=S^{1}\times S^{1}$ і неперервний гомоморфізм $\varphi _{\lambda }:\mathbb {R} \to T$ заданий як $t\to (e^{2\pi it},\,e^{2\pi i\lambda t})$ для ірраціонального числа $\lambda$, то $\varphi _{\lambda }$ є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.

Для третьої теореми про ізоморфізм якщо $N$, $K$ — нормальні підгрупи в $G$, такі що $K\subseteq N$, тоді існує ізоморфізм груп $(G\!{\big /}\!K)\!{\Big /}\!(N\!{\big /}\!K)$ і $G\!{\big /}\!N$ і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.

Для другої теореми про ізоморфізм для $S$ — підгрупи в $G$ і $N$ — нормальної підгрупи в $G$ ізоморфізм факторгруп $(SN)/N$ і $S/(S\cap N)$ може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай $G=\mathbb {R} ,\!N=\mathbb {Z}$ і $S=\lambda \mathbb {Z} ,$ де $\lambda$ є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді $S\cap N=\{0\}$ і тому $S/(S\cap N)=S,$ тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість $N+S=\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$ є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому $(S+N)/N=(\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z} )\!{\big /}\!\mathbb {Z}$ є щільною підмножиною кола $S^{1}=\mathbb {R} \!{\big /}\!\mathbb {Z} .$ Відповідно $(S+N)/N$ не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори $S/(S\cap N)$ і $(S+N)/N$ не є гомеоморфними.

Рівномірні структури

Топологічна група $G$ є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина $V\subset G\times G$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину $\{(x,y):xy^{-1}\in U\}$ для деякого околу $U$ одиничного елемента групи $G$. Ця рівномірна структура на $G$ називається правою рівномірною структурою на $G$, оскільки для кожного елемента $a\in G$, праве множення $x\to xa$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на $G$, вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на $G$.

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Гомотопні властивості

Якщо $\ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G$ є петлями в одиничному елементі (тобто $\ f_{1}(0)=f_{2}(0)=f_{1}(1)=f_{2}(1)=1_{G}$) то для фундаментальної групи $\pi _{1}(G,1_{G})$ множення визначається множенням у самій групі $G,$ тобто $\ [f_{1}][f_{2}]=[f_{1}*f_{2}]=[f_{1}f_{2}],$ де $f_{1}f_{2}$ є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто $(f_{1}f_{2})(t)=f_{1}(t)f_{2}(t).$ Аналогічно у фундаментальній групі $\ [f_{1}]^{-1}=[f_{1}^{-1}].$

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля $\ f_{1}\colon [0,1]\to G$ у елементі $g\in G$ є неперервним образом петлі $\ g^{-1}f_{1}$ при відображенні $l_{g}$ і дві петлі $\ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G$ у елементі $g$ є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі $\ g^{-1}f_{1}$ і $\ g^{-1}f_{2}$ то всі фундаментальні групи $\pi _{1}(G,g)$ є ізоморфними $\pi _{1}(G,1_{G})$ і групу $\pi _{1}(G,1_{G})$ як правило просто позначають $\pi _{1}(G).$

П'ята проблема Гільберта

Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група $G$ є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у $G$ існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група $G$ з компактною факторгрупою G/G₀ є проективною границею груп Лі.

Див. також

• H-простір
• Група Лі
• Топологічний векторний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN 0-521-20527-1
• Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104