Зовнішня похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У диференціальній геометрії, зовнішня похідна розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d2 = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \Omega^k(M) — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення d: \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для p=0 воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2. \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  3. Для будь-якої форми виконується рівність d(d\omega)=0.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:

  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

Приклади[ред.ред. код]

1

Нехай σ = u dx1∧dx2 у базисі 1-форм dx1,...,dxn. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

d \sigma = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_1 \wedge dx_2
 = \sum_{i=3}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_1 \wedge dx_2.
2

Для 1-форми σ = u dx + v dy визначеної у R2 з використанням попереднього одержується:

\text{d} \sigma 
= \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial u}{\partial x_i} \text{d}x_i \wedge \text{d}x \right) + \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial v}{\partial x_i} \text{d}x_i \wedge \text{d}y \right)
=\left(\frac{\partial{u}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}x + \frac{\partial{u}}{\partial{y}} \text{d}y \wedge \text{d}x\right) +  \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}y + \frac{\partial{v}}{\partial{y}} \text{d}y \wedge \text{d}y\right)
= 0 -\frac{\partial{u}}{\partial{y}} \text{d}x \wedge \text{d}y +  \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}y + 0
= \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) \text{d}x \wedge \text{d}y.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо ƒ: MN — гладке відображення і Ωk — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

Exteriorderivnatural.png

тобто d(ƒ*ω) = ƒ*dω, де ƒ* позначає зворотне відображення від ƒ. Отже d є природнім відображенням з Ωk на Ωk+1.

Література[ред.ред. код]

  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3