Зовнішня похідна

У диференціальній геометрії, зовнішня похідна розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d² = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення

Нехай $\Omega^k(M)$ — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення $d: \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $d(d\omega)=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:

• $d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

Приклади

1

Нехай σ = u dx₁∧dx₂ у базисі 1-форм dx₁,...,dx_n. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

$d \sigma = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_1 \wedge dx_2$

$= \sum_{i=3}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_1 \wedge dx_2.$

2

Для 1-форми σ = u dx + v dy визначеної у R² з використанням попереднього одержується:

$\text{d} \sigma = \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial u}{\partial x_i} \text{d}x_i \wedge \text{d}x \right) + \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial v}{\partial x_i} \text{d}x_i \wedge \text{d}y \right)$

$=\left(\frac{\partial{u}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}x + \frac{\partial{u}}{\partial{y}} \text{d}y \wedge \text{d}x\right) + \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}y + \frac{\partial{v}}{\partial{y}} \text{d}y \wedge \text{d}y\right)$

$= 0 -\frac{\partial{u}}{\partial{y}} \text{d}x \wedge \text{d}y + \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \text{d}x \wedge \text{d}y + 0$

$= \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) \text{d}x \wedge \text{d}y.$

Властивості

Якщо ƒ: M → N — гладке відображення і Ω^k — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

тобто d(ƒ*ω) = ƒ*dω, де ƒ* позначає зворотне відображення від ƒ. Отже d є природнім відображенням з Ω^k на Ω^k+1.

Література

• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3