Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

$\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega$

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми $\omega$ по області $\Omega$ дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Формула

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле $\mathbf{a}$ в $n$-мірному просторі, в якому задана система координат $x^1, x^2, \dots x^n$. Якщо в цьому просторі заданий контур $L$ (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид $S$, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контура з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

$(1) \qquad \oint_L \mathbf{a} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S \text{rot} \; \mathbf{a} \; d \sigma$

або в координатах:

$(1a) \qquad \oint_L a_i d x^i = \iint_S \sum_{i < j} (\nabla_i a_j - \nabla_j a_i) \; d \sigma^{ij}$

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини ($n = 2$) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях ($S$ — є частиною площини, обмеженою контуром):

$(2) \qquad \oint_L P dx + Q dy = \iint_S ({\partial Q \over \partial x} - {\partial P \over \partial y}) dx dy$

Для фізики, особливо електородинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат $Oxyz$ з правою орієнтацією. Ротор вектора $\mathbf{a} = \{ a_x, a_y, a_z \}$ можна позначати вектором з координатами:

$(\text{rot} \; \mathbf{a})_x = (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{a})_x= \nabla_z a_y - \nabla_y a_z = \partial_z a_y - \partial_y a_z$

$(\text{rot} \; \mathbf{a})_y = \partial_z a_x - \partial_x a_z$

$(\text{rot} \; \mathbf{a})_z = \partial_x a_y - \partial_y a_x$

Орієнтація елементарної площадки задається одиничним вектором нормалі $\mathbf{n}$. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

$(3) \qquad \oint_L \mathbf{a} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S (\text{rot} \; \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}) d S$

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проекціям контура:

$(4) \qquad \oint_L a_x d x + a_y d y + a_z d z = \iint (\partial_x a_y - \partial_y a_x) d x d y + \iint (\partial_y a_z - \partial_y a_z) d y d z + \iint (\partial_z a_x - \partial_x a_z) dx dz$

Доведення

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в $n$-мірному просторі криву $x^i = x^i(t)$, (параметр $t$ пробігає значення від нуля до одиниці $t \in [0, 1]$), що сполучає дві точки $P$ (при $t=0$) і $Q$ (при $t=1$). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал $\Phi$, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру $t$):

$(5) \qquad \Phi = \int_P^Q a_i d x^i = \int_0^1 a_i \dot x^i d t$

Тепер розглянемо близьку криву $\tilde x^i = x^i + \delta x^i$, яка сполучає ті самі точки $P$ і $Q$. Варіація кривої $\delta x^i = \delta x_i(t)$ на кінцях перетворюється в нуль: $\delta x_i \big|_{t=0} = \delta x_i \big|_{t=1} = 0$. Варіація функціонала дорівнює:

$(6) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 \delta (a_i \dot x^i) dt = \int_0^1 \delta (a_i) \dot x^i dt + \int_0^1 a_i {d (\delta x_i) \over dt} dt$

В першому інтегралі компоненти векторного поля $a_i$ залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі $t$):

$\ a_i = a_i (x^1(t), x^2(t), \dots x^n(t))$

тому варіація векторного поля дорівнює:

$\delta a_i = {\partial a^i \over \partial x^j} \delta x^j$

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

$\int_0^1 a_i {d (\delta x_i) \over dt} dt = a_i \delta x^i \bigg|_0^1 - \int_0^1 {d a^i \over dt} \delta x^i dt = - \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} \dot x^j \delta x^i dt$

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

$(7) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} (\dot x^i \delta x^j - \dot x^j \delta x^i) dt = \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} d \sigma^{ij}$

де введено позначення координат елементарної площадки - антисиметричного тензора паралелограма між кривою і бизькою до нею кривою:

$d \sigma^{ij} = (\dot x^i \delta x^j - \dot x^j \delta x^i) dt = d x^i \delta x^j - d x^j \delta x^i$

Цей паралелограм побудований на векторах $d x^i, \; \delta x^i$. Дві вершини цього паралелограма ($x^i(t), \; x^i(t + dt)$) лежать на оригінальній кривій. а дві інших ($\tilde x^i(t), \; \tilde x^i(t + dt)$) на близькій кривій.

Оскільки тензор $d \sigma^{ij}$ антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

$(8) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} d \sigma^{ij} = - \int_0^1 {\partial a^j \over \partial x^i} d \sigma^{ij} = {1 \over 2} \int_0^1 ({\partial a^i \over \partial x^j} - {\partial a^j \over \partial x^i}) d \sigma^{ij}$

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

${\partial a^i \over \partial x^j} - {\partial a^j \over \partial x^i} = (\partial_j a_i - \Gamma_{ji}^k a_k) - (\partial_i a_j - \Gamma_{ij}^k a_k) = \nabla_j a_i - \nabla_i a_j$

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні ($i \ne j$), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник $1 \over 2$.

$(9) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 \sum_{i < j} (\nabla_j a_i - \nabla_i a_j) d \sigma^{ij}$

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі $L$ візьмемо дві точки (не обовязково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) $P$ і $Q$. Контур розіб'ється на дві різні криві $L_1$ i $L_2$, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки $P$ до точки $Q$. Тоді символічно можна записати:

$L = L_1 - L_2$

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

$(10) \qquad \oint_L a_i d x^i = \int_{L_1} a_i d x^i - \int_{L_2} a_i d x^i = \Phi(L_1) - \Phi(L_2)$

Тепер розглянемо двомірний многовид $S$, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на $S$, почавши з кривої $L_2$, і закінчуючи кривою $L_1$ (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

$(11) \qquad \Phi(L_1) - \Phi(L_2) = \int_{L_2}^{L_1} \delta \Phi = \iint_S \sum_{i < j} (\nabla_j a_i - \nabla_i a_j) d \sigma^{ij}$

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Дивіться також

• Потенціальне векторне поле
• Теорема Остроградського-Гауса

Джерела

• Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.