Теорема Стокса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми \omega по області \Omega дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Формула[ред.ред. код]

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле \mathbf{a} в n-мірному просторі, в якому задана система координат x^1, x^2, \dots x^n. Якщо в цьому просторі заданий контур L (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид S, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контура з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

(1) \qquad \oint_L \mathbf{a} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S \text{rot} \; \mathbf{a} \; d \sigma

або в координатах:

(1a) \qquad \oint_L a_i d x^i = \iint_S \sum_{i < j} (\nabla_i a_j - \nabla_j a_i) \; d \sigma^{ij}

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини (n = 2) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях (S — є частиною площини, обмеженою контуром):

(2) \qquad \oint_L P dx + Q dy = \iint_S ({\partial Q \over \partial x} - {\partial P \over \partial y}) dx dy

Для фізики, особливо електородинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат Oxyz з правою орієнтацією. Ротор вектора \mathbf{a} = \{ a_x, a_y, a_z \} можна позначати вектором з координатами:

(\text{rot} \; \mathbf{a})_x = (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{a})_x= \nabla_z a_y - \nabla_y a_z = \partial_z a_y - \partial_y a_z
(\text{rot} \; \mathbf{a})_y = \partial_z a_x - \partial_x a_z
(\text{rot} \; \mathbf{a})_z = \partial_x a_y - \partial_y a_x

Орієнтація елементарної площадки задається одиничним вектором нормалі \mathbf{n}. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

(3) \qquad \oint_L \mathbf{a} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S (\text{rot} \; \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}) d S

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проекціям контура:

(4) \qquad \oint_L a_x d x + a_y d y + a_z d z = \iint (\partial_x a_y - \partial_y a_x) d x d y + \iint (\partial_y a_z - \partial_y a_z) d y d z + \iint (\partial_z a_x - \partial_x a_z) dx dz

Доведення[ред.ред. код]

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в n-мірному просторі криву x^i = x^i(t), (параметр t пробігає значення від нуля до одиниці t \in [0, 1]), що сполучає дві точки P (при t=0) і Q (при t=1). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал \Phi, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру t):

(5) \qquad \Phi = \int_P^Q a_i d x^i = \int_0^1 a_i \dot x^i d t

Тепер розглянемо близьку криву \tilde x^i = x^i + \delta x^i, яка сполучає ті самі точки P і Q. Варіація кривої \delta x^i = \delta x_i(t) на кінцях перетворюється в нуль: \delta x_i \big|_{t=0} = \delta x_i \big|_{t=1} = 0. Варіація функціонала дорівнює:

(6) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 \delta (a_i \dot x^i) dt = \int_0^1 \delta (a_i) \dot x^i dt + \int_0^1 a_i {d (\delta x_i) \over dt} dt

В першому інтегралі компоненти векторного поля a_i залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі t):

\ a_i = a_i (x^1(t), x^2(t), \dots x^n(t))

тому варіація векторного поля дорівнює:

\delta a_i = {\partial a^i \over \partial x^j} \delta x^j

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

\int_0^1 a_i {d (\delta x_i) \over dt} dt = a_i \delta x^i \bigg|_0^1 - \int_0^1 {d a^i \over dt} \delta x^i dt = - \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} \dot x^j \delta x^i dt

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

(7) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} (\dot x^i \delta x^j - \dot x^j \delta x^i) dt = \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} d \sigma^{ij}

де введено позначення координат елементарної площадки - антисиметричного тензора паралелограма між кривою і бизькою до нею кривою:

d \sigma^{ij} = (\dot x^i \delta x^j - \dot x^j \delta x^i) dt = d x^i \delta x^j - d x^j \delta x^i

Цей паралелограм побудований на векторах d x^i, \; \delta x^i. Дві вершини цього паралелограма (x^i(t), \; x^i(t + dt)) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (\tilde x^i(t), \; \tilde x^i(t + dt)) на близькій кривій.

Оскільки тензор d \sigma^{ij} антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

(8) \qquad \delta \Phi =  \int_0^1 {\partial a^i \over \partial x^j} d \sigma^{ij} = - \int_0^1 {\partial a^j \over \partial x^i} d \sigma^{ij} = {1 \over 2} \int_0^1 ({\partial a^i \over \partial x^j} - {\partial a^j \over \partial x^i}) d \sigma^{ij}

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

{\partial a^i \over \partial x^j} - {\partial a^j \over \partial x^i} = (\partial_j a_i - \Gamma_{ji}^k a_k) - (\partial_i a_j - \Gamma_{ij}^k a_k) = \nabla_j a_i - \nabla_i a_j

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні (i \ne j), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник 1 \over 2.

(9) \qquad \delta \Phi = \int_0^1 \sum_{i < j} (\nabla_j a_i - \nabla_i a_j) d \sigma^{ij}

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі L візьмемо дві точки (не обовязково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) P і Q. Контур розіб'ється на дві різні криві L_1 i L_2, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки P до точки Q. Тоді символічно можна записати:

L = L_1 - L_2

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

(10) \qquad \oint_L a_i d x^i = \int_{L_1} a_i d x^i - \int_{L_2} a_i d x^i = \Phi(L_1) - \Phi(L_2)

Тепер розглянемо двомірний многовид S, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на S, почавши з кривої L_2, і закінчуючи кривою L_1 (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

(11) \qquad \Phi(L_1) - \Phi(L_2) = \int_{L_2}^{L_1} \delta \Phi = \iint_S \sum_{i < j} (\nabla_j a_i - \nabla_i a_j) d \sigma^{ij}

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.