Векторне числення

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії.

Основні операції над полями

• Градієнт
• Дивергенція
• Ротор
• Оператор Лапласа
• Потік вектора
• Циркуляція вектора

Основні формули векторного числення

Для довільних векторних полів $\mathbf{a}$ та $\mathbf{b}$ і довільних склярних полів $\varphi$ та $\xi$

• $\text{rot}\; \nabla \varphi = 0$
• $\text{div}\;\text{rot}\; \mathbf{a} = 0$
• $\text{rot}\;\text{rot}\; \mathbf{a} = \nabla \text{div}\; \mathbf{a} - \Delta \mathbf{a}$
• $\nabla(\varphi \xi) = \varphi \nabla \xi + \xi \nabla \varphi$
• $\text{div}\; (\varphi \mathbf{a}) = \varphi \text{div}\; \mathbf{a} + \mathbf{a} \cdot \nabla \varphi$
• $\text{rot}\; (\varphi \mathbf{a}) = \varphi \text{rot}\;\mathbf{a} + [\nabla \varphi \times \mathbf{a}]$
• $\text{div}\; [ \mathbf{a} \times \mathbf{b}] = \mathbf{b} \cdot \text{rot}\;\mathbf{a} - \mathbf{a}\cdot\text{rot}\;\mathbf{b}$
• $\nabla (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (\mathbf{a} \cdot \nabla) \mathbf{b} + (\mathbf{b}\cdot \nabla \mathbf{a}) + [\mathbf{a} \times \text{rot}\; \mathbf{b}] + [\mathbf{b} \times \text{rot}\; \mathbf{a}]$
• $\text{rot}\; [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = (\mathbf{b} \cdot \nabla)\mathbf{a} - (\mathbf{a} \nabla) \mathbf{b} + \mathbf{a} \text{div}\; \mathbf{b} - \mathbf{b} \text{div}\; \mathbf{a}$