Метод характеристик

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) - метод розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних. Зазвичай застосовується до рівнянь у частинних похідних першого порядку, проте може бути застосованим і до гіперболічних рівнянь вищого порядку. Метод полягає у приведенні рівняння у частинних похідних до сімейства звичайних диференціальних рівнянь.

Характеристики рівняння першого порядку

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється на звичайне диференціальне рівняння. Щойно такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити на розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо таке квазілінійне рівняння на невідому функцію $u(x,y)$

$a(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial x}}+b(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial y}}=c(x,y,u).(1)$

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R³. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

$(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).\,$

В результаті одержимо , що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},$

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):

${\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}$