Стала Ейлера—Маскероні

Число Ейлера—Маскероні або просто стала Ейлера — число $c$, що визначається формулою

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln(n) \right]$

Наближене значення $\gamma \approx 0.57721566490153286060$.

Його існування випливає із монотонності спадання і обмеженості знизу (нулем) послідовності $\ 1+1/2+1/3+...1/n - \ln (n)$

Властивості

• Стала Ейлера може бути виражена як інтеграл:

  $\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx$

• Також вона виражається через похідну Гамма-функції

  $\gamma = -\Gamma'(1)$.

• Досі не виявлено, чи є це число раціональним. Проте теорія ланцюгових дробів показує, що якщо стала Ейлера — раціональний дріб, її знаменник перевищує $10^{242080}$.

Історія

Константа спочатку з'явилася в 1735 в роботі швейцарського математика Леонарда Ейлера під назвою De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Ейлер використовував для константи позначення C і O. У 1790 італійський математик Лоренцо Маскероні (італ. Lorenzo Mascheroni) ввів знак A для константи, позначення знаком γ не з'являється ніде в роботах ані Ейлера, ані Маскероні, і було вибране пізніше через зв'язок сталої та гамма-функції.