Диференціальне числення

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференцюювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на наступних найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і складають предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обгрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудува дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою $s(t)=\frac {gt^2}{2}$, де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, $g \approx 9,8$ м/с². Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту $t$. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту $t$, але й від вибору проміжка часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від $t$ до $t + \Delta t$ дорівнює:

$\frac {s(t + \Delta t)-s(t)}{\Delta t}=gt + \frac {g}{2} \Delta t \qquad (1)$

При необмеженому зменшенні проміжка $\Delta t$, вираз (1) поступово наближується до $gt$. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу $t$. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу $t$, проміжка часу від $t$ до $t + \Delta t$ та закону руху, який виржається формулою $s = f(t)$. Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від $t$ до $t + \Delta t$ задається формулою $\frac {\Delta s}{\Delta t}$, де $\Delta s = f(t + \Delta t)-f(t)$, а швидкість руху у момент часу $t$ дорівнює:

$v(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t} \qquad (2)$

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу ($t$, $t + \Delta t$). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці $M$. Нехай крива Г є графіком функції $y = f(x)$. Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута $\alpha$, який дотична утворює з додатнім напрямом осі $Ox$.

Позначимо через $x_0$ абсцису точки $M$, а через $x_1 = x_0 + \Delta x$ — абсцису точки $M_1$. Кутовий коефіцієнт січної $MM_1$ дорівнює:

$\tan \beta = \frac {M_1 N}{MN}=\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$,

де $\Delta y = M_1 N = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — приріст функції на проміжку $[x_0, x_1]$. Якщо визначати дотичну у точці $M$ як граничне положення січної $MM_1$ при $x_1$ прямує до нуля, то отримаємо:

$\tan \alpha = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.

Поняття похідної

Докладніше у статті Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції $y=f(x)$ у точці $x$ називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю $\lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta q}{\Delta t}$, де $\Delta q$ — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час $\Delta t$, а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції $y = f(x)$ позначають $f'(x), y', \frac {dy}{dx}, \frac {df}{dx}, Df(x)$.

Якщо функція $y = f(x)$ має похідну у точці $x_0$, то вона визначена як у самій точці $x_0$, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці $x_0$. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція $y = |x| = + \sqrt{x^2}$, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при $x = 0$ не має похідної, оскільки відношення $\frac {\Delta y}{\Delta x}$ не має границі при $\Delta x\to 0$: якщо $\Delta x > 0$це відношення дорівнює $+1$, а якщо $\Delta x < 0$, то воно дорівнює $-1$. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто $y = f(u)$ та $u = \phi (x)$, або всерівно що $y = f[\phi (x)]$, то $\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx} = f'(u) \phi ' (x)$

Якщо похідна $f'(x)$ має похідну, то її називають другою похідною функції $y = f(x)$ та позначають $y'', f''(x), \frac {d^2 x}{dx^2}, \frac {d^2 f}{dx^2}, D^2 f(x)$. З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: $y^n, f^n (x), \frac {d^n x}{dx^n}, \frac {d^n f}{dx^n}, D^n f(x)$.

Таблиця похідних

Докладніше у статті Таблиця похідних

Основні похідні

• Похідна від сталої: $(C)' = 0\,$
• Похідна від степеневої функції: $(x^n)' = nx^{n-1}\,$
• Похідна від показникової функції: $(a^x)' = a^x \ln a\,$
• Похідна від експоненти: $(e^x)' = e^x\,$
• Похідна від логарифмічної функції: $(\log_{a} x)' = \frac {1}{x\ln a}$
• Похідна від натурального логарифму: $(\ln x)' = \frac {1}{x}$
• Похідна від синуса: $(\sin x)' = \cos x\,$
• Похідна від косинуса: $(\cos x)' = - \sin x\,$
• Похідна від тангенса: $(\tan x)' = \frac {1}{\cos^2 x}$
• Похідна від котангенса: $(\cot x)' = - \frac {1}{\sin^2 x}$
• Похідна від арксинуса: $(\arcsin x)' = \frac {1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• Похідна від арккосинуса: $(\arccos x)' = \frac {-1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Правила диференціювання

• Сталу можна виносити за знак похідної: $[Cf(x)]' = Cf'(x)\,$
• Сума та різниця похідних: $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$
• Добуток похідних: $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,$
• Частка похідних: $\left [ \frac {f(x)}{g(x)}\right ] ' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

Тут $C, n, a (a > 0)$ — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції $y=f(x)$ називається вираз $dy =y'dx$, де $dx = \Delta x$ приріст аргументу x.

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Посилання

• Динамічні моделі FIZMA.neT