Доповнення множин
В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.
Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).
Різниця множин (відносне доповнення)
Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Venn0010.svg/200px-Venn0010.svg.png)
Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).
Формально:
Приклади:
- {1,2,3} − {2,3,4} = {1}
- {2,3,4} − {1,2,3} = {4}
- Якщо - множина дійсних чисел, і - множина всіх раціональних чисел то є множиною ірраціональних чисел.
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
Абсолютне доповнення
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Venn1010.svg/200px-Venn1010.svg.png)
Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:
- AC = U − A
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:
- правила де Моргана:
- (A ∪B)C = AC ∩BC
- (A ∩B)C = AC ∪BC
- закони доповнення:
- A ∪AC = U
- A ∩AC = Ø
- ØC = U
- UC = Ø
- закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
- ACC = A.
Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
|