Континуум-гіпотеза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Конти́нуум-гіпо́теза — гіпотеза, яка висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, можна сформулювати таким чином:

Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.

1940 року Курт Гедель довів (в припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF)), що виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати; а 1963 року американський математик Пол Коен довів (також в припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF.

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, для кожної множини кардинальне число якої більше, ніж у S, це кардинальне число є більшим або дорівнює 2S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.

Еквівалентні формулювання[ред.ред. код]

Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:

  • Пряма \R може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел  a, b, c, d не виконується умова a + b = c + d.[1]
  • Площина \R^2 може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд y=f(x) (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або x=f(y) (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).[2]
  • Простір \R^3 можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.[3]
  • Простір \R^3 можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.[4]

Примітки[ред.ред. код]

  1. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf (англ.)
  2. Вацлав Серпінський Cardinal And Ordinal Numbers. (англ.)
  3. Вацлав Серпінський Про теорію множин. (англ.)
  4. http://www.math.wisc.edu/ ~ miller/old/m873-05/setplane.ps