Континуум-гіпотеза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Конти́нуум-гіпо́теза — гіпотеза, яку висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, можна сформулювати таким чином:

Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.

1940 року Курт Гедель довів, що у системі аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC), континуум-гіпотезу не можна спростувати (за припущення про несуперечність ZFC[Прим. 1]); а 1963 року американський математик Пол Коен довів, що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом (також у припущенні про несуперечність ZFC). Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZFC.

Еквівалентні формулювання[ред. | ред. код]

Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:

  • Пряма може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел не виконується умова [1]
  • Площина може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).[2]
  • Простір можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.[3]
  • Простір можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.[4]

Узагальнення[ред. | ред. код]

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, кожна множина, кардинальне число якої більше, ніж у S, має кардинальне число, яке більше або дорівнює 2S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Несуперечність системи аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC) є необхідною умовою (оскільки в суперечливій системі можна довести будь-яке твердження). Однак, несуперечність ZFC неможливо довести в межах самої ZFC (відповідно до другої теореми Геделя про неповноту).

Джерела[ред. | ред. код]

  1. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf (англ.)
  2. Вацлав Серпінський. Cardinal And Ordinal Numbers. (англ.)
  3. Вацлав Серпінський. Про теорію множин. (англ.)
  4. http://www.math.wisc.edu/ ~ miller/old/m873-05/setplane.ps