Аксіома регулярності

Аксіома регулярності
Галузь науки	теорія множин Цермело-Френкеля
Формула	$\forall x\colon x\neq \varnothing \implies \exists y\in x\colon y\cap x=\varnothing$
Позначення в формулі	порожня множина ($\varnothing$) перетин ($\cap$)

Аксіома регулярності (аксіома фундування) — одна з аксіом теорії множин Цермело — Френкеля (ZF) (з 1930). Спочатку була сформульована фон Нейманом для теорії множин фон Неймана — Бернайса — Геделя (NBG) (в 1925).

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною:

$\forall A(\exists B(B\in A)\rightarrow \exists B(B\in A\land \lnot \exists C(C\in A\land C\in B))).$

Якщо ввести операцію перетину множин $\cap \!$, то формулу можна спростити:

$\forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing )).$

Наслідком цієї аксіоми є твердження, що не існує множини, яка є елементом самої себе.

Аксіома регулярності найменш корисна аксіома ZF, оскільки всі результати можуть бути отримані і без неї, хоча вона інтенсивно використовується результатів про цілковий порядок та ординали.

Джерела

• Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. (2003). Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. с. 254.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)