Універсальна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Універсальна множина (універсум)  — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: XU=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Рассела). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина грає ролю одиничного елементу.

Також для будь-якої множини X справедливо: XU=U.

Властивості універсальної множини[ред.ред. код]

  • Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
  • Зокрема, універсальна множина містить сама себе в якості одного з елементів.
  • Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
  • Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
  • Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
  • Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
  • Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
  • Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
  • Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
  • Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
  • Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
  • Доповненням універсальної множини є порожня множина.
  • Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
  • Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.

Див. також[ред.ред. код]