Великі кардинальні числа

У математичній області теорії множин велика кардинальна властивість — певний вид властивості трансфінітних кардинальних чисел. Кардинали з такими властивостями, як і передбачає назва, як правило, дуже великі (наприклад, більше, ніж потужність континууму). Припущення, що такі кардинали існують, не може бути доведене в самій загальній аксіоматиці теорії множин і такі пропозиції можна розглядати як спосіб вимірювання як багато потрібно припустити, щоб бути в змозі довести деякі бажані результати. Іншими словами, вони можуть бути продемонстровані висловом Дана Скотта: «Якщо ви хочете більше, ви повинні взяти на себе більше».

Аксіома великих кардинальних чисел — це аксіома про те, що існує кардинальне число (або, можливо, багато які з них) з деякою зазначеною вище великою кардинальною властивістю. Не існує в цілому з'ясованого точного визначення того, що велика кардинальна властивість являє собою насправді, хоча по суті всі згодні з тим, що список великих кардинальних властивостей абсолютно вірно описує ці властивості.

Часткове визначення

Необхідною умовою для властивості великих кардинальних чисел є велика кардинальна властивість про існування такого великого невідомого кардинального числа, несумісного з теорією множин Цермело-Франкеля, і було доведено, що якщо теорія множин Цермело-Франкеля несуперечлива, то теорія множин Цермело-Франкеля + "не існування таких кардинальних чисел" узгоджується.

Ієрархія узгодженості сили

Спостереження щодо аксіоми великих кардинальних чисел є лінійно впорядкована узгодженою силою, але це лише спостереження, а не теорема (без прийнятого визначення великої кардинальної властивості воно не підлягає доведенню у звичайному сенсі). Слід також зазначити, що порядок узгодженої сили не обов'язково збігається з порядком розміру найменшого прикладу великої кардинальної аксіоми. Наприклад, існування великого кардинального числа набагато сильніше, з точки зору узгодженості сил, ніж існування надкомпактного кардинального числа, але за умови, що обидва існують.

Джерела інформації

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (вид. 2nd). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), The evolution of large cardinal axioms in set theory, Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, т. 669 (typescript), Springer Berlin / Heidelberg, с. 99—275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1
• Maddy, Penelope (1988). Believing the Axioms, I. Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481—511. doi:10.2307/2274520.
• Maddy, Penelope (1988). Believing the Axioms, II. Journal of Symbolic Logic. 53 (3): 736—764. doi:10.2307/2274569.
• Shelah, Saharon (2002). «The Future of Set Theory». arXiv:math/0211397. 
• Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt, and Akihiro Kanamori (1978). Strong axioms of infinity and elementary embeddings (PDF). Annals of Mathematical Logic. 13 (1): 73—116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1. Архів оригіналу (PDF) за 16 липня 2012. Процитовано 10 жовтня 2012.
• Woodin, W.Hugh (2001). The continuum hypothesis, part II. Notices of the American Mathematical Society. 48 (7): 681—690.