Вільна абелева група

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа $\kappa \,$ існує вільна абелева група рангу $\kappa \,$.
• Нехай $\ G$ — вільна абелева група і $\ A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $\ h\colon A\to G$, то існує підгрупа $\ F$ групи $\ A$ ізоморфна групі $\ G$ така, що $A=F\oplus \ker h$.
• Будь-яка абелева група $\ A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A\,$ має множину генераторів потужності $~\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa \,$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $\ A$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $\ H$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $r\leqslant n$ і можна вибрати такий базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ групи $\ A$ і натуральні числа $m_{i},~i=1,\ldots ,r,$ що
  • Множина $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r}$ є базисом підгрупи $\ H;$
  • $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\ldots ,r.$

Приклади

• Група $\mathbb {Z} ^{+}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\},\{-1\}\,$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\ \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.