Вільна абелева група

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа $\kappa \,$ існує вільна абелева група рангу $\kappa \,$.
• Нехай $\ G$ — вільна абелева група і $\ A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $\ h\colon A\to G$, то існує підгрупа $\ F$ групи $\ A$ ізоморфна групі $\ G$ така, що $A=F\oplus \ker h$.
• Будь-яка абелева група $\ A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A\,$ має множину генераторів потужності $~\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa \,$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $\ A$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $\ H$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $r\leqslant n$ і можна вибрати такий базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ групи $\ A$ і натуральні числа $m_{i},~i=1,\ldots ,r,$ що
  • Множина $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r}$ є базисом підгрупи $\ H;$
  • $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\ldots ,r.$

Приклади

• Група $\mathbb {Z} ^{+}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\},\{-1\}\,$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\ \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.