Теорема про зовнішній кут трикутника

$\angle 4=\angle 1+\angle 2$ або $\angle CBD=\angle CAB+\angle ACB$

Теорема про зовнішній кут трикутника — це твердження про властивість зовнішнього кута трикутника, за яким зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Формулювання

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Тоді $\angle CBD$ або $\angle 4$ — зовнішній кут $\bigtriangleup ABC$ при вершині В.

$\angle 4=\angle 1+\angle 2$

або

$\angle CBD=\angle CAB+\angle ACB$

Доведення

Доведення теореми за допомогою додаткової побудови прямої, яка паралельна стороні трикутника та проходить через його вершину.

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Оскільки, сума кутів трикутника буде 180°:

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ }$ ($\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180^{\circ }$) (1)

Оскільки, кути 3 та 4 — суміжні, то їх сума буде 180°:

$\angle 3+\angle 4=180^{\circ }$ ($\angle CBA+\angle CBD=180^{\circ }$) (2)

З рівності 1

$\angle 3=180^{\circ }-(\angle 1+\angle 2)$ або $\angle CBA=180^{\circ }-(\angle ACB+\angle BAC)$

З рівності 2

$\angle 3=180^{\circ }-\angle 4$ або $\angle CBA=180^{\circ }-\angle CBD$, звідси $\angle 4=\angle 1+\angle 2$ або $\angle CBD=\angle BAC+\angle ACB$.

Наслідки

Наслідок 1. Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжного з ним.

Наслідок 2. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Джерела

• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4