Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору в поле (позначається як ) утворює векторний простір над полем з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору , або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як , або , якщо поле зафіксовано.
Якщо — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.
є лінійним функціоналом з векторного простору неперервних на відрізку функцій у простір дійсних чисел. Лінійність випливає із стандартних властивостей інтегралу:
Нехай — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня визначених на відрізку . Якщо , тоді відображення називається функціоналом оцінки
Відображення лінійне, оскільки
Якщо — різних точок відрізку , то функціонали оцінки , утворюють базис спряженого до простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).
Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.
Будь-який лінійний функціонал є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ при відображені теж буде підпростором.
Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.[2]
Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.
Геометрична інтерпретація 1-форми як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина проходить через початок координат.
У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).
Лінійні функціонали (1-форми) , та їх сума та вектори , , , в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.
Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі породжує ізоморфізм : такий, що
Нехай векторний простір має базис , необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір має базис , який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:
Лінійний функціонал , що належить спряженому простору , можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) ,
Тоді, застосувавши функціонал до базисного вектора , отримаємо
завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді
Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.
Якщо у просторі визначено скалярний добуток[en], то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай — базис простору (необов'язково ортогональний). Для розмірності три спряжений базис можна записати у явному вигляді: