Циклічна група

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні $ng$ , де $g\in G,n\in \mathbb {Z}$ ).

Формально, для мультиплікативних груп:

G=\langle a\rangle =\left\{a^{n}\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\

для адитивних:

G=\langle a\rangle =\left\{na\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\

Приклади

Група $\mathbb {Z}$ цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
Група $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ цілих чисел за модулем $n$ з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
Група коренів з $n$ -го степеня з $1$ (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості

Всі циклічні групи є абелевими.

Це випливає з асоціативності групи.

Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі $\mathbb {Z}$ .

Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить

a^{k}

в

k

.

Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що

a^{n}=1

та

n\equiv 0{\pmod {n}}.

У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: $1$ та $-1$ ; для скінченної групи порядку $n$ їх кількість рівна функції Ейлера $\varphi (n),$ тобто кількості чисел менших від $n$ і взаємно простих з $n$ .

Для скінченної циклічної групи елемент $k$ є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з $n$ . Тоді існують

a,b\in \mathbb {Z}

для яких виконується

ak+bn=1

тобто

ak\equiv 1{\pmod {n}}

. Відповідно

2ak\equiv 2{\pmod {n}}

і так для всіх елементів.

Навпаки якщо

ak\equiv 1{\pmod {n}}

то $ak-1$ ділиться на $n$ тобто рівне

nb

для деякого цілого $b$ . Тоді $ak-bn=1$ ? що можливо лише для взаємно простих чисел.

Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.

Є наслідком теореми Лагранжа.

Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення

Нехай $G$ — циклічна група і $H$ — її підгрупа. Вважатимемо, що $G$ і $H$ не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай $g$ — твірний елемент групи $G$ , а $n$ — найменше додатне ціле число, таке що $g^{n}\in H$ . Твердження: $H=\langle g^{n}\rangle$

$\langle g^{n}\rangle \subseteq H$

{\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\,{\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}

g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H

Відповідно,

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

.

$H\subseteq \langle g^{n}\rangle$: Нехай $h\in H$ .; $h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}$ .; Згідно з алгоритмом ділення $\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r<n\land x=qn+r$; $\ h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}$ .; $h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H$ .; Зважаючи на вибір $n$ і те, що $0\leq r<n$ , одержуємо $r=0$ .; $r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle$ .; Відповідно, $H\subseteq \langle g^{n}\rangle$ .