Момент інерції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Моме́нт іне́рції (одиниця виміру в системі СІ [кг м²]) — в фізиці є мірою інерції обертального руху, аналогічно масі для поступального.

В загальному випадку, значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Математичне визначення[ред.ред. код]

Тверде тіло можна розглядати як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою m_i. Якщо відстані від кожної точки до осі обертання дорівнюють r_i, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

I = \sum_i m_i r_i^2

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

I = \int r^2\,dm \,\!

де елемент маси dm \,\! визначається за допомогою просторового розподілу густини \rho \,\!.

dm=\rho dV \,\!

Тензор інерції[ред.ред. код]

У загальнішому випадку обертання твердого тіла довільної форми складніше. Тіло характеризується тензором другого рангу

 I_{\alpha\beta} = \sum_i m_i r_\alpha r_\beta,

де індекси α та β пробігають значення координат x, y, z.

Тензор інерції симетричний

 I_{\alpha\beta} = I_{\beta\alpha} .

Як і для будь-якого іншого тензору другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму (головної системи координат). Осі головної системи координат називають головними осями інерції.

Теорема Гюйгенса-Штейнера[ред.ред. код]

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але також від положення тіла відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера), момент інерції тіла J відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J_c відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

J=J_c+md^2\,\!

Докладніше: Теорема Штейнера

Момент кількості руху[ред.ред. код]

Момент імпульсу тіла при обертанні залежить від вектора кутової швидкості й тензора інерціії

 L_\alpha = \sum_\beta I_{\beta\alpha} \omega_{\alpha}.

У головній системі координат

 \begin{matrix} L_x = I_x\omega_x; &  L_y = I_y\omega_y; & L_z = I_z\omega_z \end{matrix}.

Кінетична енергія[ред.ред. код]

Кінетична енергія обертання тіла задається формулою

 T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta} I_{\alpha\beta}\omega_\alpha\omega_\beta.

У головній системі координат

 T = \frac{1}{2} (I_x \omega_x^2 + I_y \omega_y^2 + I_z \omega_z^2).

Основне рівняння динаміки обертального руху[ред.ред. код]

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

 \sum_i \mathbf{M_i} = I \frac{ d \vec{\omega} }{dt}=I \vec{\epsilon}

Тут Mi — моменти зовнішніх сил, \mathbf{\omega} — кутова швидкість, \mathbf{\epsilon} — кутове прискорення.

Див. також[ред.ред. код]

Список моментів інерції

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.