Момент інерції

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Моме́нт іне́рції (одиниця виміру в системі СІ [кг м²]) — в фізиці є мірою інерції обертального руху, аналогічно масі для поступального.

В загальному випадку, значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Математичне визначення

Тверде тіло можна розглядати як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою $m_i$. Якщо відстані від кожної точки до осі обертання дорівнюють $r_i$, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

$I = \sum_i m_i r_i^2$

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

$I = \int r^2\,dm \,\!$

де елемент маси $dm \,\!$ визначається за допомогою просторового розподілу густини $\rho \,\!$.

$dm=\rho dV \,\!$

Тензор інерції

У загальнішому випадку обертання твердого тіла довільної форми складніше. Тіло характеризується тензором другого рангу

$I_{\alpha\beta} = \sum_i m_i r_\alpha r_\beta,$

де індекси α та β пробігають значення координат x, y, z.

Тензор інерції симетричний

$I_{\alpha\beta} = I_{\beta\alpha}$.

Як і для будь-якого іншого тензору другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму (головної системи координат). Осі головної системи координат називають головними осями інерції.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але також від положення тіла відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера), момент інерції тіла $J$ відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла $J_c$ відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

$J=J_c+md^2\,\!$

Момент кількості руху

Момент імпульсу тіла при обертанні залежить від вектора кутової швидкості й тензора інерціії

$L_\alpha = \sum_\beta I_{\beta\alpha} \omega_{\alpha}.$

У головній системі координат

$\begin{matrix} L_x = I_x\omega_x; & L_y = I_y\omega_y; & L_z = I_z\omega_z \end{matrix}$.

Кінетична енергія

Кінетична енергія обертання тіла задається формулою

$T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta} I_{\alpha\beta}\omega_\alpha\omega_\beta.$

У головній системі координат

$T = \frac{1}{2} (I_x \omega_x^2 + I_y \omega_y^2 + I_z \omega_z^2).$

Основне рівняння динаміки обертального руху

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

$\sum_i \mathbf{M_i} = I \frac{ d \vec{\omega} }{dt}=I \vec{\epsilon}$

Тут M_i — моменти зовнішніх сил, $\mathbf{\omega}$ — кутова швидкість, $\mathbf{\epsilon}$ — кутове прискорення.

Див. також

Список моментів інерції

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.