Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є
Коротка назва	FT
Названо на честь	Жан Батист Жозеф Фур'є
Формула	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$
Позначення у формулі	${\mathcal {F}}f$, $f$, $\omega$ і $\mathrm {e}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Обернений елемент	inverse Fourier transformd
Перетворення Фур'є у Вікісховищі

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення

Перетворення Фур'є функції $f(t)\,$ математично визначається як комплекснозначна функція $F(\omega )\,$, яка задається інтегралом

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =f(t)$

Вступ

У перших кадрах анімації, функція f розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це Дельта-функції Дірака, що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області f̂ є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності.

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e^2πiθ = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e^2πiθ. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e^2πiθ і e^−2πiθ обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T/2, T/2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду c_n задається як:

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\,e^{-2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}\,dx.$

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

$c_{n}={\frac {1}{T}}{\hat {f}}\left({\frac {n}{T}}\right)$

оскільки f (x) є нульовою за межами [−T/2, T/2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1/T, помножені на ширину сітки 1/T.

При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi _{n})\ e^{2\pi i\xi _{n}x}\Delta \xi ,$

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξ_n = n/T, і Δξ = n + 1/T − n/T = 1/T.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним.

При вивченні рядів Фур'є числа c_n можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Властивості

Якщо задані інтегровні функції $f(t)$, $g(t)$ та $h(t)$ та їхні відповідні перетворення Фур'є ${\hat {f}}(\omega )$, ${\hat {g}}(\omega )$ та ${\hat {h}}(\omega )$, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел $a$ та $b$, якщо $h(t)=af(t)+bg(t)$, тоді   ${\hat {h}}(\omega )=a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega ).$

Трансляція

Для довільного дійсного числа $t_{0}$, якщо $h(t)=f(t-t0)$, тоді  ${\hat {h}}(\omega )=e^{-i\omega t_{0}}{\hat {f}}(\omega ).$

Модуляція

Для довільного дійсного числа $\omega _{0}$, якщо $h(t)=e^{\omega _{0}t}f(t)$, тоді  ${\hat {h}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\omega _{0})$.

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо $h(x)=f(ax)$, тоді  ${\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$.     Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо $h(x)=f(-x)$, тоді  ${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )$.

Спряження

Якщо $h(x)={\overline {f(x)}}$, тоді  ${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.$

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»   ${\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.$

Згортка

Якщо $h(x)=\left(f*g\right)(x)$, тоді  ${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).$

Перетворення Фур'є узагальнених функцій

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

$S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.$

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через $S^{*}(\mathbb {R} )$ спряжений простір до $S(\mathbb {R} )$. Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції $f\in S^{*}(\mathbb {R} )$ її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )$, яка діє на основні функції за правилом

$\langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .$

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

$\langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta (\omega ),\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot e^{-i\cdot 0\cdot x}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle 1,\;\varphi \right\rangle .$

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку $1$.

Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) $n$:

${\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})}\,d\mathbf {x}$

де $x$ and ${\boldsymbol {\xi }}$ — $n$-вимірні вектори, а $(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})$ позначає скалярний добуток цих векторів.

Використання

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу $f(t)$ має вигляд

$g(t)=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau$,

де $\alpha (\tau )$ — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

$G(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ^{\prime })e^{i\omega ^{\prime }(t-\tau )}d\omega ^{\prime }d\tau dt$

Оскільки

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(\omega ^{\prime }-\omega )t}dt=2\pi \delta (\omega ^{\prime }-\omega )$,

де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

$G(\omega )=\mathrm {A} (\omega )F(\omega )\,$,

де

$\mathrm {A} (\omega )=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )e^{i\omega \tau }$.

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи $\mathrm {A} (\omega )$.

Таблиця образів деяких функцій

У наступній таблиці $F(\omega )$ и $G(\omega )$ позначають перетворення Фур'є функцій $f(t)$ і $g(t)$, відповідно. Функцій $f$ і $g$ повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано $1/{\sqrt {2\pi }}$.

	Функція	Образ	Примітки
1	$af(t)+bg(t)\,$	$aF(\omega )+bG(\omega )\,$	Лінійність
2	$f(t-a)\,$	$e^{-i\omega a}F(\omega )\,$	Запізнення
3	$e^{iat}f(t)\,$	$F(\omega -a)\,$	Частотний зсув
4	$f(at)\,$	$|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}F(\omega )\,$	Перетворення Фур'є похідної
6	$t^{n}f(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$
7	$(f*g)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,$	Перетворення згортки
8	$f(t)g(t)\,$	${\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,$	Зворотнє до 7
9	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	Перетворення дельта-функції Дірака
10	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,$	Зворотнє до 9
11	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$	Для $n$-ї узагальненої похідної дельта-функції
12	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,$	Наслідок з 3 і 10
13	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,$
14	$\sin(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,$
15	$\exp(-at^{2})\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,$	Образ функції Гауса $\exp(-t^{2}/2)$ збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,$	фільтр низьких частот, прямокутна функція
17	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	Тут $\operatorname {sgn}(\omega )\,$ — функція знаку.
18	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$
19	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,$
20	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,$	Тут $\theta (t)\,$ — Функція Гевісайда.

Див. також

• Ряд Фур'є
• Змінні Фур'є
• Перетворення Лапласа
• Двостороннє перетворення Лапласа
• Швидке перетворення Фур'є
• Дискретне перетворення Фур'є
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Фур'є
• Спряжені змінні

Примітки

↑  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти $\omega$ використовують лінійну частоту $\nu$, розподіляють множник $1/2\pi$ порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела

• До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
• Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Література

• Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

• FFT in Python
• Fourier Series Applet
• An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)