Перетворення Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Фур'єінтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоби розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (таких як мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є функції  f(t) \, математично визначається як комплексна функція  F(\omega) \,, яка задається інтегралом[1]

 F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

 \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t)

Властивості[ред.ред. код]

Якщо задані інтегровні функції f(x), g(x) та h(x) та їхні відповідні перетворення Фур'є \hat{f}(\xi), \hat{g}(\xi) та\hat{h}(\xi), тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність
Для довільних комплексних чисел a та b, якщо h(x) = (x) + bg(x), тоді   \hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).
Трансляція
Для довільного дійсного числа x0, якщо h(x) = ƒ(x − x0), тоді  \hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi).
Модуляція
Для довільного дійсного числа ξ0, якщо h(x) = e2πixξ0ƒ(x), тоді  \hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0}).
Масштабування
Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо h(x) = ƒ(ax), тоді  \hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right).     Випадок a = −1 призводить до властивості "обернення часу", згідно з якою: якщо h(x) = ƒ(−x), тоді  \hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi).
Спряження
Якщо h(x)=\overline{f(x)}, тоді  \hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.
Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце "умова дійсності"   \hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}.
Згортка
Якщо h(x)=\left(f*g\right)(x), тоді   \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).

Використання[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і відповідно SETI@Home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу  f(t) має вигляд

 g(t) = \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau ,

де  \alpha(\tau) — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

 G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau dt
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) \int_{-\infty}^\infty F(\omega^\prime) e^{i \omega^\prime (t - \tau)} d\omega^\prime  d\tau dt

Оскільки

 \int_{-\infty}^\infty e^{i (\omega^\prime - \omega )t} dt = 2\pi \delta(\omega^\prime - \omega) ,

де  \delta(x)  — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

 G(\omega) =\Alpha(\omega) F(\omega) \,,

де

 \Alpha(\omega) = \int_0^\infty \alpha(\tau)e^{i \omega \tau} .

Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи  \Alpha(\omega) .

Дивіться також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

^  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти  \omega використовують лінійну частоту  \nu , розподіляють множник  1/2\pi порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела[ред.ред. код]

  • Bochner S.,Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Посилання[ред.ред. код]