Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Трикутник на площині. Формули Мольвейде — тригонометричні залежності, що виражають відношення між довжинами сторін і значеннями кутів при вершинах деякого трикутника, відкриті К. Б. Мольвейде [ru]
Формули Мольвейде виглядають так:
a
+
b
c
=
cos
A
−
B
2
sin
C
2
;
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}
a
−
b
c
=
sin
A
−
B
2
cos
C
2
,
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C}{2}}}},}
де A , B , C — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і a , b , c — довжини сторін, відповідно між вершинами B і C , C і A , A і B . Формули названо на честь німецького математика Карла Мольвейде . Формули Мольвейде зручно використовувати при розв'язуванні трикутника за двома сторонами і кутом між ними[ 1] :146 сферичній тригонометрії називають формулами Деламбра :83
Доведення
Розглянемо виведення тільки першого співвідношення, оскільки друге доводиться аналогічно.
a
+
b
c
=
cos
A
−
B
2
sin
C
2
;
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}
З теореми синусів:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
маємо:
a
c
=
sin
A
sin
C
{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}}
b
c
=
sin
B
sin
C
{\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}}
звідки випливає:
a
+
b
c
=
sin
A
+
sin
B
sin
C
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}}
Враховуючи формули подвійного кута для синуса :
sin
C
=
2
sin
C
2
cos
C
2
{\displaystyle \sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}
а також формули для суми синусів :
sin
A
+
sin
B
=
2
sin
A
+
B
2
cos
A
−
B
2
{\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}
маємо:
a
+
b
c
=
sin
A
+
sin
B
sin
C
=
sin
A
+
B
2
cos
A
−
B
2
sin
C
2
cos
C
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}}
За теоремою про суму кутів трикутника :
C
=
π
−
(
A
+
B
)
{\displaystyle C=\pi -(A+B)}
звідки, з урахуванням формул зведення для косинуса випливає, що:
cos
C
2
=
cos
π
−
(
A
+
B
)
2
=
sin
A
+
B
2
{\displaystyle \cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}}
як наслідок, маємо:
a
+
b
c
=
cos
A
−
B
2
sin
C
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}}
що й потрібно було довести.
Поділивши окремо праві й ліві частини останніх формул, відразу отримаємо теорему тангенсів
↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М. — Л. : ОГИЗ , 1948. — 154 с.
О. В. Мантуров [ru] , Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. Толковый словарь математических терминов, М.: Просвещение, 1965.
Види трикутників Чудові лінії Чудові точки Основні теореми Додаткові теореми Узагальнення Інше
