CW комплекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У топології, CW комплекс — тип топологічних просторів запропонований Уайтхедом для потреб теорії гомотопій. Цей клас просторів ширше і має деякі кращі категоріальні властивості ніж симпліціальні комплекси, але так само зберігає комбінаторну природу, яка дозволяє обчислення (часто за допомогою значно меншого комплексу).

Означення[ред.ред. код]

Грубо кажучи, CW комплекс будується з базових блоків — клітин. Точне визначення вказує, як ці клітини можна топологічно склеювати між собою.

n-вимірна замкнена клітина є образом n-вимірної замкненої кулі за відображення прилаштування. Наприклад, симплекс є замкненою клітиною, і більш загально, a опуклий багатогранник є замкненою клітиною. n-вимірна відкрита клітина — топологічний простір, гомеоморфний відкритій кулі. 0-вимірна відкрита (та замкнена) клітина є сінґлетоном.

CW комплекс є гаусдорфовим простором X разом з розбиттям X на відкриті клітини (можливо, різної розмірності), що задовольняє дві додаткові умови:

  • Для будь-якої n-вимірної відкритої клітини C у розбитті X, існує неперервне відображення f з n-вимірної замкненої кулі до X таке, що
    • обмеження f на внутрішню частину замкненої кулі є гомеоморфізмом на клітину C, і
    • образ границі замкненої кулі міститься в об'єднанні скінченної кількості елементів розбиття, кожний з яких має кліткову розмірність меншу за n.
  • Підмножина X є замкненою тоді і тільки тоді, коли містить замикання кожної клітини замкненої множини.

Індуктивне визначення CW комплексів[ред.ред. код]

Якщо найбільша розмірність його клітин є n, то кажемо, що CW комплекс має розмірність n. Якщо розмірності його клітин не мають обмеження зверху, то кажемо, що комплекс є нескінченновимірним. n-скелетон CW комплекса — об'єднання всіх клітин розмірності не більше n. Якщо об'єднання множини клітин замкнене, то воно теж є CW комплексом, і називаєтся підкомплексом. Отож, n-скелетон — найбільший підкомплекс розмірності n чи менше.

CW комплекс часто конструюється шляхом визначення його скелетонів індуктивно. Почнемо взявши за 0-скелетон деякий дискретний простір. Далі, приклеїмо 1-клітини до 0-скелетону. Тут, 1-клітини приклеюються до точок 0-скелетона неперервним відображенням з одиничних 0-сфер, тобто,  S_0 . ґвизначимо 1-скелетон як фактор-простір отриманий з об'єднання 0-скелетона та 1-клітин ототожненням точок границі 1-клітин фактор-відображенням точок границі 1-клітин в 1-клітини. В загальному випадку, взявши (n − 1)-скелетон і набір замкнених n-клітин, n-клітини приклеюються до (n − 1)-скелетона деяким неперервним відображенням з  S_{n-1} , і ототожненням шляхом вказання відображень з границі кожної n-клітини у (n − 1)-скелетон. n-скелетон є фактор-простором, отриманим з об'єднання (n − 1)-скелетонів і замкнених n-клітин ототожненням кожної точки границі n-клітини з її образом.

Посилання[ред.ред. код]