Рівняння Клейна-Гордона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Рівня́ння Кле́йна-Ґо́рдона — лоренц-інваріантне хвильове рівняння, яке описує безспінову частку в квантовій теорії поля.

Рівняння Клейна-Ґордона^[1] записується

$(\Box + \mu^2) \psi = 0,$

де $\mu = \frac{mc}{\hbar} \,$ , $\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\,$ — оператор д'Аламбера, або даламбертіан, ψ — хвильова функція, $\hbar$ — зведена стала Планка, m — маса частинки, c — швидкість світла.

Рівняння Кляйна-Ґордона є релятивістським еквівалентом рівняння Шредінгера, однак воно не годиться для опису електрона, який є ферміоном і має спін 1/2 (див. рівняння Дірака).

Рівняння Кляйна-Ґордона випливає із зв'язку між енергією та імпульсом частинки в теорії відносності:

E 2 = c 2 (p 2 + m 2 c 2)

.

Заміняючи в цьому співвідношення E на $-i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ і $\mathbf{p}$ на $-i\hbar \nabla$ , отримують рівняння Клейна-Гордона.

Зміст

1 Історія
2 Трактовка де Бройля
3 Розв'язок рівняння у вигляді стоячої хвилі
4 Виведення на основі принципу Ферма
5 Альтернативне отримання рівняння
6 Література
7 Примітки

[ред.] Історія

Вперше рівняння Клейна-Гордона запропонував Ервін Шредінгер в 1926 році як релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера. Незалежно від нього - шведський фізик О.Клейн (O. Klein), радянський фізик В.А. Фок та німецький фізик В.Гордон (W. Gordon). Аналіз рівняння показав, що його розв'язок принципово відрізняється за своїм фізичним змістом від звичайних хвильових функцій, як амплітуд ймовірності знаходження частки в заданому місці простору в заданий момент часу. Функція $\Psi (x,y,z,t) \$ не визначається однозначно значеннями $\Psi \$ в початковий момент часу. Більше того, вираз ймовірності стану поряд з позитивними значеннями може набувати також і позбавлених фізичного змісту від'ємних значень. Тому спершу від рівняння Клейна-Гордона відмовились. Проте в 1934 році Вольфганг Паулі та В.П.Вайскопф знайшли "правильну" інтерпретацію цього рівняння в рамках квантової теорії поля (вони розглянули його як рівняння поля, аналогічно до рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, і проквантували; при цьому $\Psi \$ стало оператором).

[ред.] Трактовка де Бройля

Насправді де Бройль не розглядав рівняння Клейна-Гордона, проте цим займалися його послідовники^{[Джерело?]}. Рух частинки де Бройля можна описати хвильовою функцією типу

$\Psi (\mathbf{r},t) = \exp i\left [{\frac{(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\hbar} - \frac{Wt}{\hbar}}\right]$

У випадку використання планківського квантування енергії $W = \hbar \omega \$ , а оператори імпульса та енергії можна подати у наступному вигляді:

$\quad \hat{p} = -i\hbar \mathbf{\nabla} ,~~~\quad \hat{W} = i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$ ,

Тоді операторна форма для релятивістської енергії набуває вигляду

$\quad \hat{W}^2 \Psi = c^2~ \hat{p}^2\Psi + m^2c^4 \Psi$ ,

що призводить у кінцевому випадку до рівняння Клейна-Гордона:

$\left (\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\right )\Psi(\mathbf{r},t) = \frac{m^2c^4}{\hbar^2}\Psi(\mathbf{r},t) = \frac{4\pi^2}{\lambda_C^2}\Psi(\mathbf{r},t)$ .

де $λ C = h / m c$ - комптонівська довжина хвилі електрона.

Не важко помітити, що ліва частина є по суті тривіальне хвильове рівняння Даламбера. А у випадку використання позначення комптонівської довжини хвилі частки - неоднорідне хвильове рівняняння Даламбера.

[ред.] Розв'язок рівняння у вигляді стоячої хвилі

В загальному випадку стояча хвиля може бути описана за допомогою двох зустрічних хвиль з ідентичними параметрами:

$\Psi_1 = exp{[i\omega t - i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})]}$

$\Psi_2 = exp{[i\omega t + i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})]}$ .

Стояча хвиля є результат суперпозиції цих двох зустрічних хвиль:

$\Psi = \Psi_1 + \Psi_2 = 2e^{i\omega t}sh{[i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})]}$ .

Можна показати, що рівняння стоячої хвилі є одним із розв'язків рівняння Клейна - Гордона. Дійсно похідні від функції стоячої хвилі будуть:

$\frac{\partial }{\partial t}\Psi = i\omega\Psi, \frac{\partial^2 }{\partial t^2}\Psi = -\omega^2\Psi$

$\nabla \Psi = 2i\mathbf{k}e^{i\omega t}ch{[i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})]}, \nabla^2\Psi = - k^2\Psi$

Підставляючи отримані похідні в рівняння Клейна - Гордона, знаходимо закон дисперсії у вигляді:

$\omega^2 = c^2k^2 + (2\pi)^2c^2/\lambda_C^2$

Оскільки

$\frac{k}{2\pi} \ll \frac{1}{\lambda_C}$

тому закон дисперсії можна переписати у вигляді:

$\omega(k) = \pm \frac{2\pi c}{\lambda_C}\sqrt{1 + (\frac{k\lambda_C}{2\pi })^2} \approx \frac{2\pi c}{\lambda_C}[1 + \frac{1}{2}(\frac{k\lambda_C}{2\pi })^2]$

Тут використано стандартний розклад в ряд Тейлора по малому параметру. Очевидно, що ролю масштабного параметра тут виконує комптонівська частота:

$\omega_C = \frac{2\pi c}{\lambda_C}$ .

Закон дисперсії для частот можна переписати в енергетичній формі:

$W(k) = \hbar \omega (k) = \pm m_0c^2[1 + \frac{1}{2}(\frac{k\lambda_C}{2\pi })^2] = \pm (W_0 + \frac{\hbar^2k^2}{2m_0})$

де $W_0 = m_0c^2 \$ - енергія спокою частки. Таким чином, із рівняння Клейна - Гордона отримано параболічний та ізотропний закон дисперсії для стоячої хвилі матерії. Роль ширини забороненої зони тут відіграє величина:

$W_{gap} = 2W_0 = 2m_0c^2 \$ .

Звичайно ми тут маємо певну аналогію з фізикою твердого тіла, проте є і суттєві відмінності. Дійсно, хвильова функція могла мати трансляційну симметрію типу:

$\Psi (\mathbf{r} + \mathbf{\lambda_C}) = sh{[i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{\lambda_C})]}\Psi (\mathbf{r}) = \Psi (\mathbf{r})$

при виконанні умови

$(\mathbf{k}\cdot \mathbf{\lambda_C}) = 2\pi n, n = 0,1,2,...$ .

Проте існування умови

$k \ll 2\pi /\lambda_C \$

не дає можливості для її реалізації. Інша справа вектор $\mathbf{a_B}$ , модуль якого значно більший за комптонівську довжину хвилі частки:

$a_B \gg \lambda_C \$ .

В цьому випадку будемо мати:

$\Psi (\mathbf{r} + \mathbf{a_B}) = \Psi (\mathbf{r})$

при виконанні умови:

$(\mathbf{k}\cdot \mathbf{a_B}) = 2\pi n, n = 0,1,2,...$ .

Тут максимальне значення $n$ визначається попередніми умовами можливості розкладу в ряд Тейлора. Неможливість трансляційної симметрії для стоячої хвилі з періодом $λ C$ , говорить про те, що на практиці можлива реалізація тілько одного періоду (по довжині) цієї стоячої хвилі. Проте розташування в просторі цієї стоячої хвилі матерії задається зовнішніми чинниками, що не входять в рівняння Клейна - Гордона. Наприклад, в результаті розв'язку рівняння Шредінгера для задачі Бора, ми отримаємо борівський радіус $a B$ , котрий значно більший від комптонівської довжини хвилі електрона. Тому тут можлива трансляційна симметрія стоячих хвиль матерії з параметром періода у вигляді радіуса Бора. Таким чином, самопогоджений розв'язок рівнянь Шредінгера та Клейна - Гордона дозволяє уточнити структуру електронних оболонок атома Бора. Електронна оболонка атома (в сферично- симметричних випадках) має радіус Бора, а маса електрона розташована в сферичному тонкому шару, товщина якого і рівна комптонівській довжині хвилі електрона.

[ред.] Виведення на основі принципу Ферма

Рівняння Клейна - Гордона в загальному випадку можна отримати по методу, використаному при виведенні принципу Ферма. Дійсно, візьмемо стандартну хвилю матерії де Бройля у вигляді:

$\Psi_B(\mathbf{r},t) = exp (i[\frac{(\mathbf{p},\mathbf{r})}{\hbar } - \frac{Wt}{\hbar}])$

Основним чинником при отриманні рівняння буде врахування формули Планка для квантування енергії та закон збереження енергії для релятивістської частки Ейнштейна у формі:

$W^2 = \hbar^2\omega = p^2c^2 + m_0^2c^4$ ,

Перші похідні від хвильової функції по часу тоді будуть:

$\frac{\partial \Psi_B}{\partial t} = i\omega \Psi_B, \frac{\partial^2 \Psi_B}{\partial t^2} = -\omega^2 \Psi_B$

а похідні по простору:

$\nabla \Psi_B = \frac{i\mathbf{p}}{\hbar}\Psi_B, \nabla^2\Psi_B = -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi_B$ ,

Тепер, використовуючи релятивістський закон збереження енергії, переписати його в операторному вигляді:

$\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi_B}{\partial t^2} =-\hbar^2\omega^2\Psi_B, \hbar^2c^2\nabla^2\Psi_B = -p^2c^2\Psi_B$

звідки знаходимо:

$\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi_B}{\partial t^2} = \hbar^2c^2\nabla^2\Psi_B - m_0c^2\Psi_B$

що і є однією з форм запису рівняння Клейна- Гордона. Слід відзначити, що приведений простий алгоритм отримання квантового рівняння руху є по своїй суті (в бекграунді) - використанням принципу найменшої дії для фазового простору хвилі матерії.

[ред.] Альтернативне отримання рівняння

Оскільки рівняння Клейна- Гордона неоднозначно сприймалося на протязі всього його існування, тому має право на існування і більш радикальний підхід його отримання. Наприклад, квадратичне рівняння для енергії в релятивістській теорії "підказує" нам можливість дещо іншого його трактування. Дійсно, ми можемо подати лінійні вирази для енергії в комплексній формі:

$W = cp + im_0c^2 \$

$W^* = cp - im_0c^2 \$

$W * -$ комплексно- спряжена енергія. Очевидно, що і в цьому випадку ми будемо мати теж саме квадратичне рівняння для реальної енергії:

$W^2 = WW^* = c^2p^2 -i^2m_0^2c^4 = c^2p^2 + m_0^2c^4 \$

Проте в цьому випадку ми можемо отримати два лінійні рівняння Клейна - Гордона першого порядку:

$\quad \check{W}\Psi_1 = c\quad \check{p}\Psi_1 + im_0c^2\Psi_1$

$\quad \check{W}\Psi^*_1 = c\quad \check{p}\Psi^*_1 - im_0c^2\Psi^*_1$

де $\Psi^*_1$ - комплексно- спряжена хвильова функція. Перемножуючи ці два рівняння першого порядку ми знову отримаємо стандартне рівняння Клейна- Гордона, де ролю хвильової функції виконує $\Psi = \Psi_1 \Psi^*_1$ .

[ред.] Література

Физический энциклопедический словарь, Гл.ред. Прохоров А.М.М.:Сов.энциклопедия, 1983.-928с.
Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.
Вихман Э. Квантовая физика. Учеб. руководство.- М.:Наука, 1986.- (Берклеевский курс физики).-392с.

[ред.] Примітки

↑ Оскільки Оскар Клейн був шведом, то, мабуть, справедливіше було б вимовляти рівняння Кляйна-Ґордона, проте серед фізиків прижилася англізована назва

Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

[0] Оскільки Оскар Клейн був шведом, то, мабуть, справедливіше було б вимовляти рівняння Кляйна-Ґордона, проте серед фізиків прижилася англізована назва

[1]

Рівняння Клейна-Гордона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Історія

[ред.] Трактовка де Бройля

[ред.] Розв'язок рівняння у вигляді стоячої хвилі

[ред.] Виведення на основі принципу Ферма

[ред.] Альтернативне отримання рівняння

[ред.] Література

[ред.] Примітки

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами