Сімейство множин

Множина — одне з ключових понять математики, зокрема, теорії множин і логіки.

Сімейство множин

Нехай U — універсальна множина. Якщо кожному натуральному числу n взаємно однозначно поставити у відповідність деяку підмножину A_n⊆U, то тим самим буде визначено послідовність множин A₁, …, A_n, … або, в короткому записі, (A_n) n∈N. Припустимо тепер, що замість множини Н натуральних чисел задано довільну множину І і кожному елементу i∈I взаємно однозначно поставлено у відповідність підмножину A_i⊆U. Тоді кажуть, що задано (індексоване) сімейство множин (A_i) i∈I. Множину J називають множиною індексів, а множини A_i — елементами сімейства (A_i) i∈І.

У разі I∈Н отримуємо послідовність множин, або зліченне сімейство множин; якщо множина I скінченна, отримуємо скінченне сімейство множин. Таким чином, сімейство (A_i) i∈І визначено, якщо задано відображення ν: I → 2^U

Відзначимо, що будь-яку множину, елементами якої є деякі підмножини універсальної множини U, тобто будь-яка множина A⊆2^U, можна вважати сімейством (A_i) i∈I, де I = A, a ν — тотожне відображення множини А на себе.

Двоїстість відкритих і замкнутих множин

Теорема

Для того щоб множина E ⊃Rⁿ була замкнутою, необхідно і достатньо, щоб її доповнення G≡c^F було відкритим.

Доведення

Необхідність. Нехай E замкнута і x — довільна точка з G. Доведемо, що вона буде внутрішньою в G. Оскільки x∉E, то вона не буде граничною точкою для E і знайдеться такий її окіл U_x, який не містить жодної точки з E. Отже, цей окіл повністю міститься в G, так що x — внутрішня точка G.

Достатність. Припустимо тепер, що G — відкрита. Доведемо тоді, що E — замкнута. Для цього достатньо показати, що будь-яка точка x, яка не належить E, не буде граничною для E. Якщо x∉E, то x∈G, а оскільки G відкрита, то знайдеться окіл U_x⊂G. Він не буде містити точок з E, так що x не є граничною для Е.

Відкриті множини та їх властивості

Множина всіх точок х простору Рⁿ, таких, що |x-x₀|<ρ, ρ>0, називається відкритою кулею з центром у точці x₀ і радіусом ρ. Ця куля також називається ρ-околом точки x₀ і позначається B(x₀, ρ).

Відкриті множини в просторі R_n мають такі властивості:

1. Порожня множина ∅ і весь простір R_n відкриті;
2. Перетин будь-якого скінченного числа відкритих множин також відкритий;
3. Об'єднання сімейства Gα α∈A відкритих множин також відкрите.

Див. також

• Алгебра множин
• Клас (теорія множин)
• Дельта-кільце
• Кільце множин
• Парадокс Расселла
• Сигма-алгебра
• Сигма-кільце

Література

• В. І. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекцій з математичного аналізу — Одеса, «Астропринт», 2009. (с.236)
• Навчально-методичні ресурси Петрозаводського державного університету, курс математичного аналізу, частина 4, глава 7 «Функції багатьох змінних».