Інтерпретація (логіка)

Інтерпретація (лат. interpretatio — тлумачення, роз'яснення) — призначення змісту символам формальної мови. Тобто, це є сукупність значень (сенсів), що приписуються тим або іншим способом елементам (виразам, формулам, символам і т. д.) якої-небудь природничо-наукової або абстрактно-дедуктивної теорії.

Багато формальних мов, які використовуються в математиці, логіці та у теоретичній інформатиці визначені у виключно синтаксичних термінах, і як такі не мають ніякого значення, поки вони не дають деяку інтерпретацію. Загальне вивчення інтерпретацій формальних мов називається логічна семантика. Найчастіше вивчаються елементи формальної логіки — логіки предикатів і їх модальні аналоги, і для них існують стандартні способи подання інтерпретації. У цих контекстах інтерпретація є функцією, яка забезпечує розширення символів і рядків символів об'єктної мови.

Формальна мова

Формальна мова складається з фіксованого збору пропозицій (також називають слова або формули, в залежності від контексту), що складається з фіксованого набору букв або символів. Інвентаризації, з якої взято ці букви називають абетка по якому визначається мова. Для того, щоб відрізнити рядки символів, які знаходяться в формальній мові від довільних рядків символів, використовують правильно побудовану формулу (ППФ). Суттєвою особливістю формальної мови є те, що її синтаксис може бути визначений без звернення до інтерпретації. Наприклад, ми можемо визначити, що (P або Q) є добре правильно побудованою формула, навіть не знаючи, чи є воно істинним або хибним.

Приклад

Формальна мова $W$ може бути визначена з алфавіту α = { $\bigtriangleup$, $\Box$ }, і слово, перебуваючи в $W$ , яке починається з $\bigtriangleup$ то воно відноситься виключно до символів $\bigtriangleup$ та $\Box$ .

Можлива інтерпретація $W$ можемо призначити десяткову цифру '1' до $\bigtriangleup$ та '0' до $\Box$ . Тоді $\bigtriangleup$$\Box$$\bigtriangleup$ позначатиме 101 при такій інтерпретації $W$.

Логічні константи

У конкретних випадках логіки висловлювань і логіки предикатів, формальні мови вважаються абетками, які розділені на дві групи: логічні символи( логічні константи )і нелогічні символи. Ідея, що лежить в цій термінології є те, що логічні символи мають те ж значення, незалежно від предмета, що вивчається, в той час як нелогічні символи змінюються в значенні в залежності від області дослідження. Логічні константи завжди дають один і той же зміст кожної інтерпретації стандартного виду, так що тільки значення нелогічних символів змінюються. Логічні константи включають кванторні символи ∀ («все») і ∃ («деякі»), символи для логічних сполучників ∧ («і»), ∨ («або»), ¬ («ні»), круглі дужки і інші угруповання символів(і (у багатьох обробок) дорівнюють знаку рівності =).

Загальні властивості істино-функціональних інтерпретацій

Багато з широко вивчених інтерпретацій асоціюють кожне речення на формальній мові з одним значенням істини: істинним або хибним. Ці інтерпретації називаються істино-функціональні. Вони включають в себе звичайні інтерпретації висловлювання та логіки першого порядку . Пропозиції, які зроблені вірно конкретним призначенням, повинні бути задоволені цим завданням.

Жодна пропозиція не може бути і істинним і хибним тієї ж інтерпретації, але цілком можливо, що значення істинності тієї ж пропозиції може бути різним у різних інтерпретаціях. Якщо судження відповідає то воно несуперечливе та істинне, (принаймні одна інтерпретація), в іншому випадку вона не відповідає та не істинне. Пропозиція φ називається логічно дійсним, якщо вона задовольняє будь-якій інтерпретації (якщо φ задовольняє будь-якій інтерпретації, яка задовольняє $\psi$, то φ, як кажуть, є логічним наслідком $\psi$).

Логічні зв'язки

Докладніше: Логічні зв'язки

Деякі з логічних символів мови (крім кванторів) істинні функціональні зв'язки, які представляють функції істинності, які приймають значення істинності як аргументи і значення істинності як виходи (іншими словами, ці операції над значеннями істинності пропозицій). Насправді функціональні зв'язки дають змогу складним реченням будуватися з більш простих речень. Таким чином, значення істинності складного речення визначається як деяка функція істинності значень істинності більш простих речень. Зв'язки зазвичай беруться як логічні константи, а це означає, що значення зв'язків завжди однакове, незалежно від того, що інтерпретації даються іншими символами в формулі.

Це, як ми визначаємо логічні зв'язки в логіці висловлювань:

• ¬Φ вірна тоді і тільки тоді коли Φ є хибним.
• (Φ ∧ Ψ) істинно тоді і тільки тоді коли Φ істинна і Ψ є теж істинне
• (Φ ∨ Ψ) істинно тоді і тільки тоді Φ є істинним або Ψ є істинне (або обидва є істинними).
• (Φ → Ψ) істинно тоді і тільки тоді ¬Φ є істинним або Ψ є істинне (або обидва є істинними).
• (Φ ↔ Ψ) істинна тоді і тільки тоді (Φ → Ψ) істинно і (Ψ → Φ) є істинне

Таким чином, при даній інтерпретації все присуджують буквам Ф і Ψ (тобто після присвоєння значення істинності для кожної пропозиції літери), ми можемо визначити істинність значення всіх формул, які мають їх як складові частини, в залежності від логічного зв'язку. У наступній таблиці показано, як це виглядає. Перші дві колонки показують значення істинності букв, які визначено з чотирьох можливих інтерпретацій. Інші колонки показують значень істинності формул, побудованих з цих членів речення за допомогою букв. Де F (англ. false) — хибне значення, а T (англ. true) — істинне.

Логічні зв'язки

Інтерпретація	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
№ 1	T	T	F	T	T	T	T
№ 2	T	F	F	F	T	F	F
№ 3	F	T	T	F	T	T	F
№ 4	F	F	T	F	F	T	T

Тепер легше побачити, що робить формулу логічно справедливою. Візьмемо формулу F: (Φ ∨ ¬Φ). Якщо наша функція інтерпретації робить Ф істинно, то ¬Φ робиться хибним. Так як заперечний Φ з хибним значенням дає істинну при цій інтерпретації, F — істинне. Тепер єдина інша можлива інтерпретація Ф дає значення False, і якщо так, то ¬Φ робить T функцію запереченням. Це зробило F знову істинним, так як один з F диз'юнктив, ¬Φ, був би істинним, в рамках цієї інтерпретації. Так як дві інтерпретації для F є єдиними можливими логічної інтерпретації, і так як F виходить вірно для обох виразів, ми говоримо, що F є дійсним або тавтологічним.

Інтерпретації для пропозиційної логіки

Формальна мова для пропозиційної логіки складається з формул, побудованих з пропозиційних символів (також званих пропозиційних символів, сентенціальних змінних і пропозиційних змінних) і логічними зв'язками. Тільки нелогічні символи на формальній мові для логіки висловлювань є пропозиційними символами, які часто позначаються великими літерами. Для того, щоб зробити формальну мову точніше, конкретний набір пропозиційних символів повинен бути закріплений. Стандартний вид інтерпретації в зв'язку з цим є функція, яка відображає кожен символ пропозиційний один до одного із значень істинності істинне та хибне Ця функція називається привласнення істинності або функції оцінки. Для мови з $n$ різних пропозиційних змінних існує 2$n$ різних можливих інтерпретацій. Для будь-якої конкретної змінної $A$, наприклад, існує $2^{1}$ = 2 можливі інтерпретації: 1) $A$ призначається T, 2) $A$ призначається F. Для пари $A$ та $B$ існує $2^{2}$ = 4 можливі інтерпретації: 1) обидва призначені Т , 2) обидва призначені F, 3) $A$ призначається Т і $B$ призначається F, 4) $A$ призначається F і $B$ призначається Т.

Логіка першого порядку

На відміну від логіки висловлювань, де кожна мова є тим самим, крім вибору іншого набору пропозиційних змінних, існує безліч різних мов першого порядку. Кожна мова першого порядку визначається підписом. Підпис складається з набору нелогічних символів і ідентифікації кожного з цих символів як постійного символу, символу функції або символу предиката. У разі функції предикатні символи та натуральне число арності також призначається. Алфавіт для формальної мови складається з логічних констант, ставлення рівності символ =, всі символи від підпису, а також додаткові безліч символів відомі як змінні. Наприклад, в мові кілець, є постійні символи 0 і 1, два функціональні символи бінарних + і — , і ніяких двійкових символів відносин. (Тут відношення рівності береться як логічна константа .)

Знову ж таки, ми можемо визначити мову першого порядку як L, яка складається з окремих символів $a$, $b$ і $c$; предикатні символи F, G, H, I і J; змінні $x$, $y$, $z$; немає функції букв; немає сентенціальних символів.

Формальні мови для логіки першого порядку

З огляду на підпис $\sigma$ , відповідна формальна мова відома як набір $\sigma$-формул. Кожна $\sigma$-формула будується з атомних формул за допомогою логічних зв'язок; атомарні формули будуються з термінів, використовуючи предикатні символи. Формальне визначення безлічі а-формул триває в іншому напрямку: по-перше, члени зібрані з постійних і функціональних символів разом зі змінними. Потім члени можуть бути об'єднані в атомарні формули, використовуючи символ предиката (символ відносини) від підпису або спеціального символу предиката "=" для рівності. Нарешті, формули мови зібрані з атомарних формул з використанням логічних зв'язок і кванторів.

Див. також

• Вільні і зв'язані змінні
• Теорія моделей
• Логіка висловлювань
• Модальна логіка
• Теорія моделей

Посилання

• Stanford Enc. Phil: Classical Logic, 4. Semantics [Архівовано 10 липня 2010 у Wayback Machine.]
• mathworld.wolfram.com: FormalLanguage [Архівовано 30 серпня 2019 у Wayback Machine.]
• mathworld.wolfram.com: Connective [Архівовано 28 червня 2020 у Wayback Machine.]
• mathworld.wolfram.com: Interpretation [Архівовано 26 червня 2020 у Wayback Machine.]
• mathworld.wolfram.com: Propositional Calculus [Архівовано 22 березня 2021 у Wayback Machine.]
• mathworld.wolfram.com: First Order Logic [Архівовано 17 квітня 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Haskell Curry Основи математичної логіки. McGraw Hill. Тут: стор. 48
• Gottschalk v. Benson (1972), елементарна логіка, друге видання, Нью-Йорк: Oxford University Press, стор. 56, ISBN 0-19-501491-X
• Quine, W. V. (1954), «Кількісний і порожній домен», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 19 (3): 177—179, doi:10.2307/2268615, JSTOR 2268615, MR 0064715
• Roland Müller (2009). «Поняття Моделі». In Anthonie Meijers. Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.
• Rudolf Carnap (1958). Введення до символічної логіки та її застосування . New York: Dover publications. ISBN 9780486604534.
• Hans Freudenthal, ed. (Jan 1960). Поняття ролі і моделі в області математики і природничих наук і соціальних наук (Colloquium proceedings). Springer. ISBN 978-94-010-3669-6.
• Geoffrey Hunter (1992). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press.
• Hailperin, Theodore (1953), «Quantification theory and empty individual-domains», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 18 (3): 197—200, doi:10.2307/2267402, JSTOR 2267402, MR 0057820