Ідеальний газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ідеа́льний газ (рос. идеальный газ; англ. ideal gas, нім. ideales Gas n) — це газ, в якому молекули можна вважати матеріальними точками, а силами притягання й відштовхування між молекулами можна знехтувати. У природі такого газу не існує, але близькими за властивостями до ідеального газу є реальні розріджені гази, тиск в яких не перевищує 200 атмосфер і які перебувають при не дуже низькій температурі, оскільки за таких умов відстань між молекулами набагато перевищує їх розміри.

Розрізняють три типи ідеального газу:

Класичний ідеальний газ або газ Максвелла-Больцмана.
Ідеальний квантовий газ Бозе (складається з бозонів). Див. статистика Бозе-Ейнштейна.
Ідеальний квантовий газ Фермі (складається з ферміонів). Див. статистика Фермі-Дірака.

Зміст

1 Термодинаміка класичного ідеального газу
2 Термодинаміка Фермі-газу
3 Термодинаміка Бозе-газу
4 Джерела

[ред.] Термодинаміка класичного ідеального газу

Термодинамічні властивості ідеального газу можна описати наступними двома рівняннями:

Стан класичного ідеального газу описується рівнянням стану ідеального газу:

$PV = nRT = Nk_B T\,$

Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:

$U = \hat{c}_V nRT = \hat{c}_V Nk_B T$

де $\hat{c}_V$ є константою (рівною, наприклад, 3/2 для одноатомного газу) і

U — внутрішня енергія (вим. у джоулях)
P — тиск (паскаль)
V — об'єм (метр кубічний)
n — кількість речовини (моль)
R — газова стала (джоуль на моль на градус Кельвіна)
T — абсолютна температура (градуси Кельвіна)
N — кількість молекул
k_B — стала Больцмана (джоуль на градус Кельвіна на молекулу)

Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:

Вільна енергія:

$F = -Nk_B T \left( \text{ln}\,\left[\frac{V}{N} \left( \frac{mk_B T}{2\pi\hbar^2} \right)^{3/2}\right] + 1 \right)$ ,

де m - маса атома газу, $\hbar$ - приведена стала Планка.

Хімічний потенціал

$\mu = k_B T \text{ln}\, \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right]$

[ред.] Термодинаміка Фермі-газу

Детальніше у статті Фермі-газ

Фермі-газ утворений з ферміонів - часток, які не можуть перебувати в станах із однаковими квантовими числами. Ферміони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Прикладом ідеального фермі-газу є електрони в металах.

Рівняння стану фермі-газу записується в параметричному вигляді

$P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} \,$ ,

$N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1}$ ,

де параметром є величина хімічного потенціалу μ. Інші позначення в цій формулі: g - фактор виродження (2 для електронів, у яких спін 1/2), $\hbar$ - приведена стала Планка. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтергали, можна побудувати залежність тиску від об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа часток.

При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд

$PV = Nk_B T \left(1 + \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right)$ .

Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.

При низьких температурах Фермі-газ стає виродженим, і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається нерівністю

$T \ll T_F =\frac{\hbar^2}{k_B m} \left( \frac{N}{V} \right)^{2/3}$ .

Температура $T F$ називається температурою виродження.

При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:

$P = \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m} \left( \frac{N}{V} \right)^{5/3}$ .

Це рівняння справедливе також і для абсолютного нуля температури. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.

[ред.] Термодинаміка Бозе-газу

Ідеальний Бозе-газ скадається з бозонів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного й пронумерувати. Поведінка бозонів описується статистикою Бозе-Ейнштейна. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.

Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:

$P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} \,$ ,

$N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1}$ ,

де хімічний потенціал $\mu \le 0$ .

При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану

$PV = Nk_B T \left(1 - \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right)$ .

Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.

При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в Бозе-конденсат.

Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:

$P =0.0851g \frac{m^{3/2} (k_B T)^{5/2}}{\hbar^3}$ .

Тиск у ньому не залежить від об'єму.

[ред.] Джерела

Федорченко А.М.. Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. (1993), Київ: Вища школа., 415 с.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. (1976), Москва: Наука..

Ідеальний газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Термодинаміка класичного ідеального газу

[ред.] Термодинаміка Фермі-газу

[ред.] Термодинаміка Бозе-газу

[ред.] Джерела

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами