Ідеальний газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ідеа́льний газ (рос. идеальный газ; англ. ideal gas, нім. ideales Gas, n) — це газ, в якому молекули можна вважати матеріальними точками, а силами притягання й відштовхування між молекулами можна знехтувати. У природі такого газу не існує, але близькими за властивостями до ідеального газу є реальні розріджені гази, тиск в яких не перевищує 200 атмосфер і які перебувають при не дуже низькій температурі, оскільки за таких умов відстань між молекулами набагато перевищує їх розміри.

Розрізняють три типи ідеального газу:

Термодинаміка класичного ідеального газу[ред.ред. код]

Термодинамічні властивості ідеального газу можна описати такими двома рівняннями:

Стан класичного ідеального газу описується рівнянням стану ідеального газу:

PV = nRT = Nk_B T\,

Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:

U = \hat{c}_V nRT = \hat{c}_V Nk_B T

де \hat{c}_V є константою (рівною, наприклад, 3/2 для одноатомного газу) і

Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:

Вільна енергія:

 F = -Nk_B T \left( \text{ln}\,\left[\frac{V}{N} \left( \frac{mk_B T}{2\pi\hbar^2} \right)^{3/2}\right]   + 1 \right) ,

де m — маса атома газу,  \hbar приведена стала Планка.

Хімічний потенціал

 \mu = k_B T \text{ln}\, \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right]

Термодинаміка Фермі-газу[ред.ред. код]

Докладніше у статті Фермі-газ

Фермі-газ утворений з ферміонів — частинок, які не можуть перебувати в станах із однаковими квантовими числами. Ферміони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Прикладом ідеального Фермі-газу є електрони в металах.

Рівняння стану Фермі-газу записується в параметричному вигляді

 P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} \,,
 N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} ,

де параметром є величина хімічного потенціалу μ. Інші позначення в цій формулі: g — фактор виродження (2 для електронів, у яких спін 1/2),  \hbar зведена стала Планка. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтеграли, можна побудувати залежність тиску від об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа частинок.

При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд

 PV = Nk_B T \left(1 + \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) .

Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для Фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.

При низьких температурах та високих густинах Фермі-газ стає виродженим, і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається нерівністю

 T \ll T_F =\frac{\hbar^2}{k_B m} \left( \frac{N}{V} \right)^{2/3} .

Температура T_F називається температурою виродження.

При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:

 P = \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m} \left( \frac{N}{V} \right)^{5/3}.

Це рівняння справедливе також і для абсолютного нуля температури. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.

Термодинаміка Бозе-газу[ред.ред. код]

Ідеальний Бозе-газ скадається з бозонів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного й пронумерувати. Поведінка бозонів описується статистикою Бозе-Ейнштейна. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.

Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:

 P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} \,,
 N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} ,

де хімічний потенціал \mu \le 0 .

При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану

 PV = Nk_B T \left(1 - \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) .

Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.

При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в Бозе-конденсат.

Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:

 P =0,0851g \frac{m^{3/2} (k_B T)^{5/2}}{\hbar^3} .

Тиск у ньому не залежить від об'єму.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. , 415 с.
  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.