Теорема Еренфеста

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]

Теоре́ма Еренфе́ста (Рівняння Еренфеста) — твердження про вид рівнянь квантової механіки для середніх значень спостережуваних величин гамільтонових систем. Ці рівняння вперше отримані П. Еренфестом у 1927 році.

В загальному випадку можуть бути записані у наступній формі:

де A — деякий квантовомеханічний оператор (наприклад, оператор імпульсу) а  — середнє значення відповідної фізичної величини. Теорема Еренфеста є обов'язкова в представленні Гейзенберга квантової механіки. Вона вказує на відповідність квантовомеханічних співвідношень та законів — їх класичним аналогам для середніх значень фізичних величин.

Теорема Еренфеста тісно пов'язана з теоремою Ліувіля із механіки Гамільтона, що містить дужки Пуассона замість комутатора. В загальному випадку можна сформулювати наступне правило: кожна теорема квантової механіки, що містить комутатор, може бути приведена до її класичного аналога шляхом заміни комутатора на «дужки Пуассона», помноживши їх на коефіцієнт .

Виведення[ред.ред. код]

Нехай деяка система знаходиться в квантовому стані . Якщо ми знаємо похідну по часу від очікуваної величини A, тоді за визначенням будемо мати:

де інтегрування проводиться по всьому просторі. Якщо використати при цьому рівняння Шредінгера, тоді знайдемо:

та

[1]

Слід відзначити, що оскільки гамільтоніан є ермітовий. Підставляючи це у приведене вище рівняння, знаходимо

Досить часто (проте не завжди) оператор A не залежить від часу, так що його похідна по часу рівна нулю і ми можемо знехтувати останнім членом.

Приклад використання[ред.ред. код]

В загальному випадку для руху масивної частки в певному потенціалі, гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

де x координата частки. Якщо ми хочемо узнати моментальну зміну імпульсу p, тоді теорема Еренфеста дає:

оскільки p комутує із самим собою в координатному просторі так, що оператор імпульсу є , тоді . Також

Використовуючи стандартне правило диференціювання добутку, знаходимо

що за формою збігається з другим законом Ньютона. Це є типовий приклад т.з. принципу відповідності, який стверджує, що у випадку багатьох часток другий закон Ньютона формулюється у формі очікуваної величини для руху однієї частки.

Примітки[ред.ред. код]

  1. ^  Для «бра-кет» представлення
де оператор Гамільтона, а H є представлення гамільтоніану в координатному просторі (так само, як і у випадку для похідної вище). Іншими словами, ми використали приєднаний оператор для всього рівняння Шредінгера, котрий змінив порядок операцій H та .

Література[ред.ред. код]

  • Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.