Матрична механіка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Матрична механіка — математичний формалізм квантової механіки, розроблений Вернером Гайзенберґом, Максом Борном та Паскуалем Йорданом у 1925.

Матрична механіка була першою незалежною та послідовною квантовою теорією. Вона розвиває ідеї теорії Бора, зокрема відповідає на питання, як відбуваються квантові стрибки. Основна ідея матричної механіки полягає в тому, що фізичні величини, які характеризують частинку, описуються матрицями, що змінюються в часі. Такий підхід цілком еквівалентний хвильовій механіці Ервіна Шредінгера та є основою для бра-кет нотації Дірака для хвильової функції.

Математичний апарат[ред.ред. код]

В матричні механіці вважається, що фізична система може перебувати в одному із дискретного набору станів n або в суперпозиції цих станів, тож загалом стан квантовомеханічної системи задається вектором стану: скінченною або нескінченною сукупністю комплексних чисел

 \phi = \left( \begin{matrix} c_1 \\ \vdots \\ c_i \\ \vdots  \end{matrix} \right) ,

а кожній фізичній величині A, які можна спостерігати на есперименті відповідає певна матриця

 A = \left( \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{nn} & \ldots \\  
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{matrix} \right)

Реальним фізичним величинам відповідають самоспряжені матриці, для яких

 a_{nm} = a_{mn}^* .

Особливе місце посідає матриця енергії H.

Комплексні величини  c_n задають амплітуду ймовірності того, що квантовомеханічна система перебуває в стані n.

Діагональні елементи матриці A відповідають значенням фізичної величини, коли вона перебуває в певному стані, а недіагональні елементи описують ймовірність переходів системи із одного стану в інший.

Рівняння руху[ред.ред. код]

Матриця, яка описує фізичну величину, задовольняє рівнянню руху

 \frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{i}{\hbar}[ H, A] ,

де часткова похідна задає явну залежність фізичної величини від часу, а квадратні дужки означають комутатор матриць A та H. В цій формулі i — уявна одиниця,  \hbar  — приведена стала Планка.

Якщо матриця A відома в початковий момент часу, то, розв'язуючи дане рівняння, можна визначити її в будь-який момент часу.

Еквівалентність матричної механіки та хвильової механіки[ред.ред. код]

Як показав Джон фон Нойман, матрична механіка повністю еквівалентна хвильовій механіці Шредінгера. Еквівалентність випливає з того, що в хвильову функцію  \psi \, можна розкласти в ряд, використовуючи певний ортонормований базис функцій  \varphi_i :

 \psi = \sum_n c_n \varphi_n .

Коефіцієнти цього розкладу  c_n \, задаватимуть вектор стану.

Матриця, яка відповідає певній фізичній величині A задається матричними елементами оператора  \hat{A}

 A_{nm} = \int \varphi_n^* \hat{A} \varphi_m d\tau .

Зважаючи на еквівалентність формулювань, у сучасній квантовій механіці матричний підхід використовується на рівних із описом за допомогою хвильових функцій.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Грин Х. Матричная квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 164 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.