Рівняння Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Рівняння Паулі або рівняння Паулі-Шредінгера — нерелятивістське рівняння руху квантової частинки зі спіном 1/2 в електромагніному полі.

Рівняння Паулі є узагальненням рівняння Шредінгера для частинок зі спіном. Водночас воно не є Лоренц-інваріантним. Відповідне Лоренц-інваріантне квантовомеханічне рівняння — рівняння Дірака.

i\hbar \frac{\partial \psi}{ \partial t}  = { \hat{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m}  ( \hat{\mathbf{p}}- {e\over c} \mathbf{A})^2 \hat I+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat{\sigma} \cdot \mathbf{B})\right]\psi

де спінор  \psi  — описує квантову частинку, наприклад, електрон,  \hat{H} — гамільтоніан,  \hat{\mathbf{p}} = - i\hbar \nabla   — оператор імпульсу,  \mathbf{A}  — векторний потенціал,  \mathbf{B}  — вектор магнітної індукції,  \varphi  — електричний потенціал,  \hat{\sigma}  — матриці Паулі,  \hat{I}  — одинична матриця,  m  — маса частинки, e — її заряд,  \hbar  — зведена стала Планка, c — швидкість світла.

Рівняння вперше записав Вольфганг Паулі.


Область застосування[ред.ред. код]

Рівняння Паулі успішно описує квантові системи, для яких несуттєва спін-орбітальна взаємодія, зокрема вільні електрони, легкі атоми. Для важких атомів спін-орбітальну взаємодію слід враховувати, тому вони коректно описуються складнішим рівнням Дірака.

Приклади[ред.ред. код]

Частинка в стаціонарному магнітному полі[ред.ред. код]

Частинка в стаціонарному однорідному магнітному полі описується рівнянням

 i\hbar \frac{\partial \psi}{ \partial t} = \hat{H}_0 \psi - \mu_0 \hat{\sigma}_z B \psi,

де  \hat{H}_0  — незалежний від спіну гамільтоніан, система координат вибрана так, щоб вісь z збігалася з напрямком магнітного поля, і введено позначення

 \mu_0 = \frac{e\hbar}{2mc}  — магнетон Бора.

Зважаючи на діагональність  \hat{\sigma}_z , це рівняння матричне розпадається на два скалярні

 i\hbar \frac{\partial \psi_1}{ \partial t} = \hat{H}_0 \psi_1 - \mu_0 \hat{\sigma}_z B \psi_1,
 i\hbar \frac{\partial \psi_2}{ \partial t} = \hat{H}_0 \psi_2 + \mu_0 \hat{\sigma}_z B \psi_2,

які відрізняються знаком перед магнетоном Бора.

Відповідно, кожному власному значенню E_{0n} гамільтоніану  \hat{H}_0 відповідаються два власні значення гамільтоніану  \hat{H} , один зі спіном «угору», другий зі спіном «униз». Енергії цих станів дорівнюють

 E_{n\uparrow} = E_{n0} - \mu_0 B, \qquad E_{n\downarrow} = E_{n0} + \mu_0 B, .

Джерела[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.