Комптонівське розсіювання

Квантова механіка

$\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи

Основа Класична механіка · Інтерференція · Нотація бра-кет · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна-Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Ґордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Багатосвітова · Байєсівська · Бомівська механіка · Відносна · Копенгагенська · Об'єктивний колапс · Статистична · Стохастична · Теорія прихованих параметрів · Теорія узгоджених історій · Транзакційна Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Ааронов · Белл · Блох · Бозе · Бом · Бор · Борн · де Бройль · Вейль · Вігнер · Гейзенберг · Дебай · Дірак · Еверетт · Ейнштейн · Зееман · Зоммерфельд · Йордан · Комптон · Крамерс · Ландау · фон Лауе · Лемб · фон Нейман · Паулі · Планк · Рабі · Фейнман · Фермі · Фок · Швінгер · Шредінгер

Схематичне зображення Комптонового розсіювання на вільному електроні

Комптонівське розсіювання — явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.

При комптонівському розсіюванні фотон віддає частину своєї енергії зарядженій частинці. Як наслідок змінюється його власна енергія, а отже, довжина хвилі.

Явище непружного розсіяння рентгенівських і гамма-променів на електронах відкрив 1923 року Артур Комптон, за що отримав Нобелівську премію за 1927 рік. Важливість відкриття зумовлена тим, що в класичній фізиці зміна довжини електромагнітної хвилі при розсіюванні на вільній зарядженій частинці неможлива.

При непружному розсіюванні фотона на зарядженій частинці мають виконуватися закон збереження енергії і закон збереження імпульсу. Ці обмеження роблять неможливим таке розсіювання для квантів електромагнітного поля з малою частотою.

Енергія, втрачена фотоном при комптонівському розсіюванні, передається електрону. У результаті виникає високоенергетичний електрон віддачі.

Ефект Комптона за природою є подібним до фотоефекту — різниця полягає в тому, що при фотоефекті фотон повністю поглинається електроном, тоді як при комптонівському розсіюванні він лише змінює напрямок руху і енергію.

Комптонівське розсіювання є основним каналом розсіювання електромагнітних хвиль на речовині на ділянці енергій від 0,5 до 3 MеВ.

Неможливість класичного тлумачення

У класичній електродинаміці взаємодія електрона з електромагнітною хвилею, при врахуванні лише електричної складової, наступна: під дією періодичних збурень, електрон починає коливатися з тою самою частотою, що і набігаюча хвиля і випромінювати нові електромагнітні хвилі тієї ж частоти.

Якщо врахувати і магнітне поле, то рух електрона буде описуватись більш складним диференціальним рівнянням, і, у випадку якщо поле достатньо сильне, щоб розігнати електрон до релятивістських швидкостей, він може починати випромінювати на частотах, відмінних від частоти початкової хвилі.

Проте, у жодному випадку класична теорія не передбачає існування електронів віддачі — хвиля розподілена в просторі, і не може "сконцентровуватись" на одному електроні і вибити його з атому. Тому, реєстрація таких електронів точно вказує на неповноту класичного опису, а саме, на корпусколярно-хвильову природу світла

Розсіяння на вільному електроні

Енергія фотона і електрона віддачі в залежності від кута розсіювання

Залежність диференціального перетину розсіяння від кута розсіяння для різних значень енергій фотона

Випадок розсіяння на вільному електроні є математично найбільш простим варіантом, і може бути описане точно.

Енергія фотона дорівнює ${\mathcal {E}}=hc/\lambda$, а імпульс — $p=h/\lambda$, або інакше, $p={\mathcal {E}}/c$. Враховуючи це, можна записати рівняння збереження енергії і імпульсу (через теорему косинусів) при непружному зіткненні фотона і електрона:

${\mathcal {E}}_{0}+mc^{2}={\mathcal {E}}_{1}+E_{e}$

$p_{e}^{2}=p_{0}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{0}p_{1}\cos \theta =1/c^{2}({\mathcal {E}}_{0}^{2}+{\mathcal {E}}_{1}^{2}-2{\mathcal {E}}_{0}{\mathcal {E}}_{1}\cos \theta )$

підставивши значення енергії та імпульсу електрона у формулу зв'язку енергії і імпульсу у релятивістській механіці $E_{e}^{2}-p_{e}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$, отримаємо

$({\mathcal {E}}_{0}-{\mathcal {E}}_{1}+mc^{2})^{2}-{\mathcal {E}}_{0}^{2}-{\mathcal {E}}_{1}^{2}+2{\mathcal {E}}_{0}{\mathcal {E}}_{1}\cos \theta =m^{2}c^{4}$

розкривши дужки, отримаємо

${\mathcal {E}}_{1}{\mathcal {E}}_{0}(\cos \theta -1)+mc^{2}({\mathcal {E}}_{0}-{\mathcal {E}}_{1})=0$

Виразивши енергію через довжину хвилі, отримаємо

${\frac {h^{2}c^{2}}{\lambda _{0}\lambda _{1}}}(\cos \theta -1)+{\frac {mc^{2}hc(\lambda _{1}-\lambda _{0})}{\lambda _{0}\lambda _{1}}}=0$

Спростивши вираз, отримаємо формулу, що зв'язує кут відхилення фотону і зміну його довжини хвилі, і відома як формула Комптона

$\lambda _{1}-\lambda _{0}={\frac {h(1-\cos \theta )}{m_{e}c}}$

Оскільки ця формула виведена лише з кінематичних міркувань, вона є точною і в релятивістському випадку.

Величина ${\frac {h}{m_{e}c}}$ називається комптонівською довжиною хвилі ($m_{e}$ — маса електрона, $h$ — стала Планка, c — швидкість світла) й є сталою для кожного типу зарядженої частинки. Комптонівська довжина хвилі чисельно дорівнює 2,4263·10⁻¹²м = 2,4263 пм

Можна бачити, що зміна довжини хвилі не залежить від початкової енергії фотона, що, в свою чергу, означає, що зміна енергії є суттєвою лише для високоенергетичних фотонів — наприклад, для видимого світла з довжиною хвилі у сотні нанометрів енергія змінюється менше ніж на одну десятитисячну. Таким чином, комптонівське розсіювання переходить в томсонівське.

Квазікласичний підхід дає змогу отримати тільки зміну довжини хвилі розсіяного фотона. Для обчислення перетину розсіювання необхідно застосувати рівняння квантової електродинаміки. Такий розподіл дає формула Клейна — Нісіни.

При зростанні енергії фотона, ймовірність розсіювання поступово зменшується, причому ймовірність розсіювання на великі кути зменшується швидше.

Зворотній комптонівський ефект

Якщо фотон розсіюється на рухомих електонах, то енергія розсіянного фотону може бути більшою, за енергію падаючого (відповідно, енергія електрону після зіткнення зменшується). Такий процес називають зворотнім комптонівським розсіянням. Цей процес є основним механізмом втрати енергії релятивістськими електронами у міжзоряному просторі. Якщо початкові швидкості фотонів розподілені ізотропно, то середня енергія розсіянних фотонів буде дорівнювати

${\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}{\frac {4E_{e}}{3m_{e}c^{2}}}$

Енергія розсіянного на електроні фотона, якщо кут між напрямками їх руху θ, кут між напрямками руху падаючого і розсіянного фотона φ, безрозмірна швидкість електрона $\beta =v/c$:

${\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}{\frac {1-\beta \cos \theta }{1-\beta \cos(\theta -\phi )+{\frac {{\mathcal {E}}_{0}}{E_{e0}}}(1-\cos \phi )}}$

У випадку "лобового" зіткнення:

${\mathcal {E}}_{1}=E_{e0}{\frac {4{\mathcal {E}}_{0}E_{e0}}{4{\mathcal {E}}_{0}E_{e0}+m^{2}c^{4}}}$

У випадку зворотнього комптон-ефекту зміна довжини хвилі падаючого світла залежить від його початкової енергії, тоді як для нерухомих електронів такої залежності нема.

Розсіяння на зв'язаному електроні

Схематичне зображення розсіювання фотона на електроні зовнішньої оболонки атома

У випадку, якщо електрон, на якому розсіюється фотон, знаходиться у атомі, то картина розсіювання ускладнюється.

У випадку, якщо енергія зв'язку електрона більша за енергію налітаючого фотона, то електрон не вибивається з оболонки, і фотон розсієються всім атомом як одним цілим. У такому випадку замість маси електрона у формулі для зміни довжини хвилі буде стояти маса атома, яка в десятки тисяч разів більша — а отже, і зміна довжини хвилі буде у десятки тисяч разів меншою. Через це низькоенергетичні фотони (наприклад, видимого діапазону) розсіюються майже пружно — таке розсіювання називається релеївським.

Іншим можливим варіантом є раманівське розсіяння, при якому частина енергії фотона переходить у енергію власних коливань молекули.

У випадку власне комптонівського розсіювання, якщо енергія налітаючого фотону значно більша за ${\mathcal {E}}_{0}\gg \alpha Z_{eff}m_{e}c^{2}$,де α — стала тонкої структури, а Z_eff — ефективний заряд ядра у одиницях е (різний для різних оболонок), можна вважати, що електрон вільний, і його розсіювання описується формулами розсіювання на вільному електроні.

У випадку, якщо $m_{e}c^{2}\gg {\mathcal {E}}_{0}\gg E_{3}$, варто врахувати, що у рівняння збереження енергії при розсіюванні додається член, пов'язаний з енергією зв'язку, а з іншого боку, з'являється взаємодія електрона і покинутого їм йона. Для опису такого процесу використовуються фейнманівські діаграми типу "чайка".

Ймовірність розсіювання близька до нуля при низьких енергіях налітаючого фотону, поступово зростає при збільшенні енергії, а потім зпадає. Положення піку залежить від ефективного заряду ядра: чим він більший, тим більшим енергіям відповідає пік. Також, чим більше значення заряду ядра, тим менший за абсолютними величинами є піковий переріз розсіювання.

У кутовому розподілі при зростанні заряду ядра пригнічуються вильоти з малим кутом — тобто, найбільшу ймовірність при розсіянні на K-електронах важких елементів має відбиття на 180°, навіть для високих енергій.

Ще однією особливістю розсіяння на електронах в атомі є розширення спектральної лінії, що відповідає заданому куту розсіяння. Тобто, якщо при розсіянні на вільному електроні, будь-якому куту відповідає конкретне значення Δλ, то при розсіянні на атомі кожному куту відповідає цілий діапазон таких значень. Це відбувається через те, що у атомі електрон локалізований, а отже має невизначенність у імпульсі. Ширина лінії пропорційна енергії падаючого фотона, і квадратному кореню від енергії зв'язку електрона.

Оскільки зазвичай у атома є багато електронів з різною енергією зв'язку, то при одній і тій самій енергії падаючого фотона для деяких електронів розсіювання буде йти за комптонівським типом, а для інших (енергія зв'язку яких більша за енергію фотона) — за релеївським, в залежності від того, з електроном якої оболонки провзаємодіяв фотон. Тому реальні спектри розсіянних фотонів зазвичай мають два піки — один з них співпадає з частотою падаючого світла, і другий, з менш енергетичними комптонівськими фотонами.

Деякі особливі випадки комптонівського розсіювання

Подвійне розсіювання

Іноді в процесі розсіяння електрон може поглинути один фотон, а випромінити два. Такий процес відбувається значно рідше за звичайне розсіювання. Найбільш ймовірним є випадок, коли один з утворених фотонів дуже низькоенергетичний, і навпаки, ймовірність випромінювання двох фотонів з близькими енергіями — мінімальна.

Також, можливе випромінювання 3 і більше фотонів, проте воно пригнічується з фактором (1/137)^n-1, де n — кількість фотонів.

При випромінюванні двох і більше фотонів втрачається пряма залежність між кутом відхилення і зміною довжини хвилі, тому правильне врахування шуму від подвійного комптон-ефекту необхідне для точного вимірювання нормального комптон-еффекту.

Нелінійне розсіювання

У випадку, якщо інтенсивність падаючого світла дуже велика, електрон може поглинути кілька фотонів, і випромінити один — такий процес називається нелінійним комптонівським розсіюванням. Його переріз, нівідміну від звичайного розсіювання, залежить від щільності фотонів у пучку. Розсіювання по такому каналу стає більш значущим ніж звичайне лише при надзвичайно великих інтенсивностях, при яких напруженність електромагнітного поля що створюється електромагнітною хвилею у сотні раз перевищує напруженність поля в атомі. Наразі такі умови недосяжні в лабораторії, проте можуть реалізовуватися на поверхні нейтронних зір.

Розсіювання на важких частинках

Фотони можуть розсіюватись на протонах і нейтронах так само як на електронах, проте через те, що нуклони майже у 2 тисячі разів важчі за електрони, зміна довжини хвилі так само в тисячі разів менша, а тому помітною стає лише для дуже високоенергетичних фотонів. Крім того, взаємодія нуклонів у ядрі значно складніша за взаємодію електрона з ядром, що також впливає на форму спектру розсіяних фотонів.

Застосування

Вимірюючи інтенсивність розсіянного світла можна з великою точністю визначити електронну густину у тілі.

Якщо об'єкт має складну внутрішню будову, то можна розділити розсіянне випромінювання, що йде від кожної окремої ділянки вздовж променя. Таким чином працює комптонівська томографія. Її головною перевагою є можливість просканувати об'єкт, навіть коли відсутній повний доступ до нього (неможливо зробити повний оберт випромінювача і детектора навколо), а недоліком — низька роздільна здатність.

Аналізуючи переріз комптонівського розсіяння при різних енергіях можна встановити розподіл моментів руху електронів у різних оболонках. Залежність перерізу від енергії називається комптонівським профілем речовини. Також знання комптонівського профілю потрібне для високоточної рентгенографії, оскільки комптонівське розсіювання зашумлює картину рентгенівської тіні.

Використання ефекту комптона дозволяє створювати лазери з плавною регуляцією довжини хвилі — така регуляція відбувається за рахунок обертання мішені навколо розсіювача.

Якщо фотон детектується спочатку одним детектором, а після цього — іншим, то, аналізуючи зміни енергії фотона можна визначити його початков треєкторію. Так працюють комптонівські гамма-телескопи, що мають дуже широке поле зору. Наприклад, телескоп на орбітальный обсерваторії "Комптон" має поле зору в 1 стерадіан.

Див. також

• Томсонівське розсіювання
• Релеївське розсіювання

Література

• Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М. : Наука, 1974. — Т. 1. — 576 с.
• Д. В. Сивухин. Атомная физика // Общий курс физики. — М. : «Наука», 1986. — Т. 5. — 426 с.