Комптонівське розсіювання

Квантова механіка

$\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Нотація бра-кет · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна-Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Ґордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Багатосвітова · Байєсівська · Бомівська механіка · Відносна · Копенгагенська · Об'єктивний колапс · Статистична · Стохастична · Теорія прихованих параметрів · Теорія узгоджених історій · Транзакційна Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Ааронов · Белл · Блох · Бозе · Бом · Бор · Борн · де Бройль · Вейль · Вігнер · Гейзенберг · Дебай · Дірак · Еверетт · Ейнштейн · Зееман · Зоммерфельд · Йордан · Комптон · Крамерс · Ландау · фон Лауе · Лемб · фон Нейман · Паулі · Планк · Рабі · Фейнман · Фермі · Фок · Швінгер · Шредінгер

Схематичне зображення Комптонового розсіювання на вільному електроні

Схематичне зображення розсіювання фотона на електроні зовнішньої оболонки атома

Комптонівське розсіювання — явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.

При копмтонівському розсіюванні фотон віддає частину своєї енергії зарядженій частинці. Як наслідок змінюється його власна енергія, а отже, довжина хвилі.

Явище непружного розсіяння рентгенівських і гамма-променів на електронах відкрив у 1923 Артур Комптон, за що отримав Нобелівську премію за 1927 рік. Важливість відкриття зумовлена тим, що в класичній фізиці зміна довжини електромагнітної хвилі при розсіюванні на вільній зарядженій частинці неможлива.

При непружному розсіюванні фотона на зарядженій частинці повинні виконуватися закон збереження енергії і закон збереження імпульсу. Ці обмеження роблять неможливим таке розсіювання для квантів електромагнітного поля з малою частотою.

Зміна довжини хвилі фотона при комптонівському розсіюванні на непорушному вільному електроні може бути обрахована за формулою

$\lambda ^{\prime }-\lambda =\Lambda (1-\cos \theta )$,

де θ — кут розсіювання, а величина

$\Lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}$

називається комптонівською довжиною хвилі ($m_{e}$ — маса електрона, $h$ — стала Планка, c — швидкість світла) й є сталою для кожного типу зарядженої частинки. Комптонівська довжина хвилі чисельно дорівнює 2,4263·10⁻¹²м = 2,4263 пм

Енергія, втрачена фотоном при комптонівському розсіюванні, передається електрону. В результаті виникає високоенергетичний електрон віддачі.

Комптонівське розсіювання є основним каналом розсіювання електромагнітних хвиль на речовині в області енергій від 0,5 до 3 MеВ.

Постановка задачі

Розгляд задачі базується на спеціальній теорії відносності. Тому по замовчуванню математична модель комптонівського розсіювання є релятивістська. В рамках релятивістського підходу імпульс p та енергію E можна подати у вигляді:

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}$

де $v-$ швидкість частинки, $c$ — швидкість світла, а $m_{0}-$ маса спокою частинки.

Більше того, релятивістський підхід дозволяє розглянути електромагнітне випромінювання як корпускулу — фотон у вигляді граничного переходу:

$v\to c,m_{0}\to 0\$,

в якого маса спокою дорівнює нулю, а швидкість збігається зі швидкістю світла. Таким чином, імпульс фотона можна переписати у вигляді:

$p=E/c\$.

Модель комптонівського розсіювання також базується на квантовому підході шляхом врахування енергії у викляді «квантів Планка»:

$E=\hbar \omega =h\nu =hc/\lambda \$.

$\hbar =h/2\pi -\$ зведена стала Планка. Тоді імпульс частинки можна переписати у вигляді:

$p={\frac {E}{c}}={\frac {\hbar \omega }{c}}={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}$.

Модель Комптона використовує квазікласичний релятивістський підхід. У такому підході можна тільки отримати зміну довжини хвилі розсіяного фотона. Для обчислення перетину розсіяння необхідно застосувати рівняння квантової електродинаміки (див. Формула Клейна — Нісіни).

Закони збереження при розсіюванні

Закон збереження імпульса для фотон- електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$\mathbf {k_{0}} =\mathbf {k} +\mathbf {p}$

де $k_{0}\$ — імпульс фотона до розсіяння, $k\$ — імпульс розсіяного фотона, а $p\$ — імпульс розсіяного електрона. Тут по замовчуванню припускається, що імпульс електрона до акту розсіювання дорівнює нулю. Після нескладних алгебраїчних та тригонометричних перетворень закон збереження імпульса можна переписати у формі:

$p^{2}=k_{0}^{2}+k^{2}-2k_{0}k\cos \theta \$.

де $\theta \$ — кут між хвильовими векторами фотона до і після розсіяння. Закон збереження енергії для фотон-електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$w_{0}+E_{0}=w+E\$

де $E_{0}=m_{0}c^{2}\$ — енергія спокою електрона, $w_{0}=\hbar \omega _{0}\$ — енергія фотона до розсіяння, а $w=\hbar \omega \$ — енергія розсіяного фотона. Енергія розсіяного електрона ($E$) береться із релятивістського рівняння для енергій.

Розв'язок задачі

Розв'язок задачі опускаючи нескладні алгебраїчні перетворення має вигляд взаємозв'язку між циклічними частотами падаючого та розсіяного фотонів:

${\frac {c}{\omega }}-{\frac {c}{\omega _{0}}}={\frac {\hbar }{m_{0}c}}(1-\cos \theta )$

Враховуючи взаємозв'язок циклічної частоти із звичайною:

$\omega =2\pi \nu =2\pi c/\lambda \$

де $\nu \$ — лінійна частота коливань, а $\lambda \$ — довжина хвилі цих коливань, різницю між частотами можна подати у вигляді різниці довжин хвиль:

$\Delta \lambda =\lambda -\lambda _{0}=2\pi {\frac {\hbar }{m_{0}c}}(1-\cos \theta )=\Lambda (1-\cos \theta )$

де $\Lambda ={\frac {\hbar }{m_{0}c}}$ — довжина хвилі комптонівського розсіювання електрона. Останню формулу можна переписати в компактній формі:

$\Delta \lambda =2\Lambda \sin ^{2}\theta /2\$.

Див. також

• Формула Клейна — Нісіни

Література

• Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М. : Наука, 1974. — Т. 1. — 576 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.