Центральна гранична теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
CLTBinomConvergence.svg

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

Наприклад, отримано вибірку, яка містить велику кількість спостережень, кожне з яких було отримано випадковим чином і вони не залежать від інших спостережень, і на основі значень цих спостережень розраховують арифметичне середнє. Якщо цю процедуру повторити багато разів, центральна гранична теорема стверджує, що розраховані середні значення будуть мати нормальний розподіл. Простим прикладом цього є багаторазове підкидання монети при яких імовірність випадіння заданої кількості гербів у всій послідовності подій буде наближатися до нормальної кривої, із середнім, що знаходитиметься по середині від загальної кількості випадань монети на кожну сторону. (Граничне значення для нескінченної кількості підкидань, буде дорівнювати нормальному розподілу.)

Центральна гранична теорема має декілька варіантів. У своїй загальній формі, випадкові величини повинні бути однаково розподілені. У деяких варіантах, збіжність середнього значення прямує до нормального розподілу також і у випадку не однаково розподілених величин, або не лише при незалежних спостереженнях, що буде здійснюватися за умови виконання певних умов.

У перших версіях цієї теореми, нормальний розподіл може використовуватися як апроксимація біноміального розподілу, що відомо як локальна теорема Муавра — Лапласа.

Центральна гранична теорема для незалежних послідовностей[ред. | ред. код]

Класичне формулювання[ред. | ред. код]

Нехай  — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами.

Та існують скінченні: математичне сподівання та дисперсія .

Нехай . Тоді

А для довільних фіксованих справедливо:

Де  — нормальна функція розподілу.[1][2]

Формулювання Ляпунова[ред. | ред. код]

Теорема названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. У цьому варіанті центральної граничної теореми випадкові величини мають бути незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими. Теорема також вимагає щоб випадкові величини мали скінченні моменти деякого порядку (2 + δ) і швидкість зростання цих моментів має бути обмежена умовою Ляпунова.

ЦГТ Ляпунова[3]: Нехай {Xi} — послідовність незалежних випадкових величин, таких, що кожна з них має скінченне математичне сподівання і дисперсію . Позначимо . Якщо для деякого виконується умова Ляпунова

Тоді сума прямує за розподілом до стандартного нормального розподілу, при

На практиці зазвичай найлегше перевірити умову Ляпунова для . Якщо послідовність випадкових величин задовольняє умову Ляпунова, то вона задовольняє також умову Лінденберга. Зворотне твердження не правильне.

Формулювання Ліндеберга[ред. | ред. код]

Докладніше: Умова Ліндеберга

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного виконується
де характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Zn прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

Дивіться також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

  1. В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир. с. 249. 
  2. J. W. Lindeberg. Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Warscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Zeitschrift. — 1922. — Т. 15. — С. 211-225.
  3. Billingsley, (1995, с. 362)

Література[ред. | ред. код]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (вид. 3). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. (англ.)