Центральна гранична теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
CLTBinomConvergence.svg

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

Центральна гранична теорема для незалежних послідовностей[ред.ред. код]

Класичне формулювання[ред.ред. код]

Нехай  — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами.

Та існують скінченні: математичне сподівання та дисперсія .

Нехай . Тоді

А для довільних фіксованих справедливо:

Де  — нормальна функція розподілу.[1][2]

Формулювання Ляпунова[ред.ред. код]

Теорема названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. У цьому варіанті центральної граничної теореми випадкові величини мають бути незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими. Теорема також вимагає щоб випадкові величини мали скінченні моменти деякого порядку (2 + δ) і швидкість зростання цих моментів має бути обмежена умовою Ляпунова.

ЦГТ Ляпунова[3]: Нехай {Xi} — послідовність незалежних випадкових величин, таких, що кожна з них має скінченне математичне сподівання і дисперсію . Позначимо . Якщо для деякого виконується умова Ляпунова

Тоді сума прямує за розподілом до стандартного нормального розподілу, при

На практиці зазвичай найлегше перевірити умову Ляпунова для . Якщо послідовність випадкових величин задовольняє умову Ляпунова, то вона задовольняє також умову Лінденберга. Зворотне твердження не правильне.

Формулювання Ліндеберга[ред.ред. код]

Докладніше: Умова Ліндеберга

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного виконується
де характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Zn прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

Дивіться також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир. с. 249. 
  2. J. W. Lindeberg. Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Warscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Zeitschrift. — 1922. — Т. 15. — С. 211-225.
  3. Billingsley (1995, p. 362)

Література[ред.ред. код]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (вид. 3). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. (англ.)


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.