Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.
Сума вигляду
![{\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{k}(x)+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4125c4665769bff6e1df8203a401492933a133)
називається функціональним рядом відносно незалежної змінної
, а
послідовність функцій
відповідно — функціональною послідовністю.
Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція
(зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди,
(наприклад, ряд Фур'є).
Функціональна послідовність
Нехай задана послідовність функцій
(взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині
евклідового простору
.
Функціональна послідовність
збігається в точці
, якщо, відповідно збігається числова послідовність
, тобто існує
Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки
, тобто є деякою функцією.
Функціональна послідовність
збігається поточково на множині
до функції
, якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами
Функціональна послідовність
збігається рівномірно на множині
до функції
, якщо
Факт рівномірної збіжності послідовності
до функції
записується так:
.
Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності
Функціональна послідовність
є рівномірно збіжною на множині
тоді і тільки тоді, коли
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \forall m,n:m,n>N\quad |u_{n}(x)-u_{m}(x)|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dcd1c2e1eae2073c5b0369c725662df0c1436e)
Справедливі такі твердження: а) Якщо
,
на
, то
;
б) Якщо
, а
— обмежена функція, то
.
Приклади
Приклад 1.
Послідовність функцій
![{\displaystyle u_{k}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb201a5a5dade36d1df89924cb2d0956a21b7c6)
рівномірно збігається до функції
на відрізку
.
Очевидно, що для кожного фіксованого
відповідна числова послідовність
при
, тобто
поточково на
. Покажемо, що ця збіжність є і рівномірною.
Дійсно, оскільки кожна з функцій
є неперервною на
, то
![{\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=\sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)|=\max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2b02b629bb1c4905c02de89cea19465b26f335)
Щоб обчислити цей максимум знайдемо критичні точки функції
![{\displaystyle u_{k}^{\prime }(x)={\frac {1+n^{2}x^{2}-x\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {1-n^{2}x^{2}}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd87ed8c3b3c5eb3f10413a21b849491530efe33)
Звідки
. Тоді
![{\displaystyle \max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|=\max\{u_{k}(0),u_{k}(1/n),u_{k}(1)\}=\max \left\{0,{\frac {1}{2n}},{\frac {1}{1+n^{2}}}\right\}={\frac {1}{2n}}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7697ec0ce92bebfc798c577f7bb683011219327e)
Звідси випливає, що
.
Приклад 2.
Послідовність функцій
![{\displaystyle u_{k}(x)={\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e84e986d1e5ea219dd7082eeb9077b2bb5a528)
збігається поточково до функції
на відрізку
, але не рівномірно.
Поточкова збіжність цієї послідовності є очевидною. З іншого боку міркуючи аналогічно, як у попередньому прикладі та враховуючи, що
![{\displaystyle u_{k}^{\prime }(x)={\frac {n(1+n^{2}x^{2})-nx\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {n(1-n^{2}x^{2})}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ebc0024093e0b281be596330eef9656212963e)
отримуємо
![{\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=u_{k}(1/n)={\frac {1}{2}}\neq 0,\quad \forall k\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1b7e024de9203bafb4e0fa52846898bc9f9af8)
Отже збіжність не є рівномірною.
Функціональний ряд
Нехай
— n-на частинна сума ряду
,
.
Збіжність функціональних рядів
Ряд збігається поточково до функції
, якщо послідовність
його частинних сум збігається поточково до
.
Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість
його частинних сум збігається рівномірно,
.
Функція
називається сумою ряду
,
![{\displaystyle S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636dcbcba7b5e3937f381f17ff9ba201242cc190)
Множина тих точок
, для яких ряд
збігається, називається областю збіжності ряду.
Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду
Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.
Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд
є рівномірно збіжним на
тоді і тільки тоді, коли
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372b67e55e9c682d6c7813621c32dbcf04db67ef)
або, що те саме
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in D}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391d2b20fadd5aebc81e53008671deffa2b187a6)
Приклад
Ряд
збігається поточково на множині
і
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}={\frac {1}{1-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa761411b30c26200dd2afba678923407fe7b71)
Остання формула є не що інше як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Однак, з твердження 1 випливає, що ця збіжність не є рівномірною
![{\displaystyle \sup _{x\in [0,1)}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|x^{n}\sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|\geqslant \left.{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|_{x=1-1/n}=n\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\rightarrow \infty ,n\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39520b543b144bfdac733522846accb6379e7f)
Зауважимо, що на будь-якому відрізку
цей ряд збігається рівномірно.
Необхідна умова рівномірної збіжності
Для того, щоб ряд
збігався рівномірно на
необхідно, щоб
на
при
.
Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду
Ряд
є рівномірно збіжним на
тоді і тільки тоді, коли
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n}^{n+p}u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca960318f07a8fa83bb9d87178ca09c92dffc5ba)
Абсолютно та умовно збіжні ряди
Ряд
називається абсолютно збіжним на
, якщо для будь-якого
ряд
збігається.
Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.
Якщо ряд
збігається, а
— розбіжний, то ряд
називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.
Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду
Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса
Нехай
1) ряди
та
такі, що
для всіх
;
2) ряд
рівномірно збіжний на
.
Тоді ряд
абсолютно та рівномірно збіжний на
.
Ряд
називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду
.
Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)
Якщо члени функціонального ряду
задовольняють умову
![{\displaystyle \forall x\in D\quad \forall k\in \mathbb {N} \quad |u_{k}(x)|\leqslant c_{k},\quad c_{k}\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f26874a35dd32809fa0e553fd0202e2bf6b1756)
причому
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ddb82286f8feb928b29d074e30c88ffbe724e1)
то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на
.
Приклад
Ряд
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d49c1396e7deb08e0b111122fb0a5d18658f369)
збігається абсолютно та рівномірно на всій числовій прямій, оскільки для будь-якого
виконуються нерівності
![{\displaystyle \left|{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right|\leqslant {\frac {1}{n^{2}}},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1ab342627cecc62e251fbfaf778c256a7d43dc)
Нехай функції
та
визначені на множині
, причому
1) послідовність частинних сум
обмежена, тобто
![{\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)\right|\leqslant M;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92db48075f69a8bffbc42a21a92869efdc01fc5f)
2) послідовність функцій
монотонна, тобто
для всіх
, та
.
Тоді ряд
рівномірно збіжний на множині
.
Нехай
1) ряд
рівномірно збігається на
;
2) послідовність
монотонна та обмежена на
, тобто
![{\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|v_{k}(x)\right|\leqslant M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f264e9f640eeeefc3180dc1d8f5c48a659129ca2)
Тоді ряд
рівномірно збіжний на множині
.
Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів
Теорема 1. (про граничний перехід)
Нехай
на деякому проміжку
та існує скінченна границя
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)=c_{k},\quad k=1,2,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52986b04ad63fc391b436ec9bb4da22f296ef7)
Тоді послідовність
збіжна і
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }c_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fe27f9f953c8311ff565ed27a1da8d017ad9bf)
Іншими словами
![{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(\lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}\left(\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}u(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530d7b715ce747587adfb5263193c0c8050624fc)
Наслідок
Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.
Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
рівномірно збігається на множині
до функції
, а його члени
— неперервні на цій множині функції, то його сума
є неперервною на
функцією, тобто
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}S(x)=S(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}u_{k}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47512d8b9fee04568a329ff030e7c7f9f7b580d8)
Нехай
. Якщо послідовність
неперервних на
функцій при кожному
незростаюча (або неспадна)
і збігається поточково до
, де
неперервна на
, то така збіжність є рівномірною.
Наслідок
Якщо ряд
збігається (поточково) на відрізку
до неперервної функції
, а функції
— неперервні, причому
для всіх
, то ряд
збігається рівномірно на
до функції
.
Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)
Нехай
. Якщо послідовність
інтегровних за Ріманом (Лебегом) на
функцій рівномірно збігається до функції
, то функція
інтегровна за Ріманом (Лебегом) і
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u(x)dx=\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f8fdf14c78ca810df1861e31fc96735c666034)
Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.
Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
рівномірно збігається на відрізку
до функції
, а його члени
— неперервні на цьому відрізку функції, то
-
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\int \limits _{a}^{b}S(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1281c17cbe2de060418568bdcdf6566e1bd0dd8)
Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)
Нехай
. Якщо послідовність
неперервно диференційовних на відрізку
функцій є поточково збіжною до функції
, а послідовність їх похідних
— рівномірно збіжною на
до деякої функції
, то функція
є неперервно диференційовною на
, а її похідна дорівнює границі послідовності похідних
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad u^{\prime }(x)=g(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}^{\prime }(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950e6ffad3cf1a48f27c422d6bc5926ae0ac53f7)
Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
, у якому функції
— неперервно диференційовні на відрізку
, збігається хоча б в одній точці
, а ряд
— рівномірно збігається на
, то ряд
також рівномірно збігається на
до функції
, причому
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)^{\prime }=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533ece568afdedbf62977f6dfcaf7d31f3babb6b)
Збіжність у середньому функціональних послідовностей
При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.
Нехай кожна функція
функціональної послідовності
і функція
інтегровні за Ріманом на
.
Функціональна послідовність
збігається в середньому на
до функції
, якщо
Функціональний ряд
збігається в середньому на
до функції
, якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на
до граничної функції
.
Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на
до
, то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до
і на довільному проміжку
.
Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)
Якщо послідовність
рівномірно збігається на
до функції
, то ця послідовність збігається в середньому на
до
.
Теорема 8. (про інтегрування)
Якщо послідовність
збіжна в середньому на
до функції
, то
![{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{x}u_{k}(t)dt\rightrightarrows \int \limits _{a}^{x}u(t)dt,\quad x\in [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01032ca1a7aef5d6eccba31b9bd5183dbe266c50)
тобто послідовність
рівномірно збігається на
до функції
.
Функціональні ряди комплексного аргументу
Розглянемо послідовність функцій
,
, та відповідний функціональний ряд
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots ,\quad z\in E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f86a3961ed86136457c6b958c7623b370aeb9be)
Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.
Теорема.
Для того, щоб ряд
був збіжним (рівномірно збіжним) на множині
до функції
, необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині
ряди складені з дійсних та уявних частин функцій
, тобто
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x,y)\rightrightarrows u(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad u_{k}(x,y)=\mathrm {Re} f_{k}(z),\quad u(x,y)=\mathrm {Re} f(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117a155bfcf0d3e0df7f1125e0fdab2d8ebb3c06)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }v_{k}(x,y)\rightrightarrows v(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad v_{k}(x,y)=\mathrm {Im} f_{k}(z),\quad v(x,y)=\mathrm {Im} f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0557af9a2fc0f7988a93292bee12a16a75d2d09)
Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.
Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.
Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій
Нехай в області
задана послідовність
аналітичних функцій, і ряд
рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області
до деякої функції
. Тоді:
1) функція
аналітична в
;
2) ряд
можна диференціювати довільну кількість разів, тобто
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(n)}(z)=f^{(n)}(z),\quad n\in \mathbb {N} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f67b5c632ca6ec15891dd507f7f769dc2d94a)
3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області
.
Деякі узагальнення
Нехай
— метричний простір з метрикою
.
Послідовність
елементів простору
називається збіжною за метрикою цього простору до елемента
, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad d(x_{k},x)<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c48c3ca1922b31f3c29ce286b8d9f8d2f14ad44)
Послідовність
елементів простору
називається фундаментальною, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n:m,n>N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eda25000f4595fc89eba8e780dd06966e5a4c5a)
Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.
Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині
дійсних функцій з метрикою
![{\displaystyle d_{1}(f,g)=\sup _{x\in D}|f(x)-g(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9440f2056b6c25b8a83ab3d3d239e55d208cc1ca)
Відповідний метричний простір позначається
(якщо
— відрізок, то
або
), а метрика називається чебишовською або рівномірною.
Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.
Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку
дійсних функцій з метрикою
![{\displaystyle d_{2}(f,g)=\left(\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5350a43c8a3a95e48a6e0082361c735d5da8cb07)
Такий простір позначається
і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.
Див. також
Література