Теорема Стюарта — метрична теорема в евклідової планіметрії .
Теорема Стюарта
Якщо точка D лежить на стороні BC трикутника ABC, то
A
D
2
=
b
2
x
a
+
c
2
y
a
−
x
y
,
{\displaystyle AD^{2}=b^{2}\,{\frac {x}{a}}+c^{2}\,{\frac {y}{a}}-xy,}
де
y
=
C
D
{\displaystyle y=CD}
, і
x
=
B
D
{\displaystyle x=BD}
.
На малюнку точка
D
{\displaystyle D}
є точкою перетину
p
{\displaystyle p}
з
B
C
{\displaystyle BC}
A
B
2
=
B
D
2
+
A
D
2
−
2
A
D
⋅
B
D
cos
∠
A
D
B
{\displaystyle AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB}
A
C
2
=
A
D
2
+
D
C
2
−
2
A
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
C
=
A
D
2
+
D
C
2
+
2
A
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
B
{\displaystyle AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos \angle ADC=AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot DC\cos \angle ADB}
Помноживши перше рівняння на
D
C
{\displaystyle DC}
,а друге - на
B
D
{\displaystyle BD}
,отримаємо:
A
B
2
D
C
=
B
D
2
D
C
+
A
D
2
D
C
−
2
A
D
⋅
B
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
B
{\displaystyle AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB}
A
C
2
B
D
=
A
D
2
B
D
+
D
C
2
B
D
+
2
A
D
⋅
D
C
⋅
B
D
cos
∠
A
D
B
{\displaystyle AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB}
Складемо рівняння:
A
B
2
D
C
+
A
C
2
B
D
=
B
D
2
D
C
+
A
D
2
D
C
+
A
D
2
B
D
+
D
C
2
B
D
{\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD=BD^{2}DC+AD^{2}DC+AD^{2}BD+DC^{2}BD}
A
D
2
(
D
C
+
B
D
)
=
A
B
2
D
C
+
A
C
2
B
D
−
B
D
2
D
C
−
D
C
2
B
D
{\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD}
A
D
2
(
D
C
+
B
D
)
=
A
B
2
D
C
+
A
C
2
B
D
−
B
D
⋅
D
C
(
B
D
+
D
C
)
{\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)}
A
D
2
=
A
B
2
D
C
B
D
+
D
C
+
A
C
2
B
D
B
D
+
D
C
−
B
D
⋅
D
C
{\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BD+DC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BD+DC}}-BD\cdot DC}
Або :
A
D
2
=
A
B
2
D
C
B
C
+
A
C
2
B
D
B
C
−
B
D
⋅
D
C
{\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BC}}-BD\cdot DC}
Теорема названа по імені її сформулював і довів англійського математика М. Стюарта (Stewart Matthew: 1717, Ротсей , Шотландія — 1785, Единбург ) і опублікував її в праці «Деякі загальні теореми» (1746, Единбург). Теорему повідомив Стюарту його вчитель Роберт Сімсон , який опублікував цю теорему лише в 1749 р.
Теорему можна використовувати для знаходження медіан и бісектрис трикутників.
Наслідком теореми Стюарта є теорема Птолемея .
Теорема, обернена до теореми Стюарта, не вірна[1] .
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-ое изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53.
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. [Архівовано 17 червня 2010 у Wayback Machine .] стр.302-303.
Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с.
Орос, В. М. Загадка теореми, оберненої до теореми Стюарта [Текст] / В. М. Орос // Математика в школах України. – 2016. – № 34-36. – С. 36–39.
Види трикутників
Чудові лінії в трикутнику
Чудові точки трикутника
Основні теореми
Додаткові теореми
Узагальнення
Інше