Стійкий розподіл

Стійкий розподіл у теорії імовірностей - це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.

Визначення

Розподіл $\mathbb {P} ^{X}$ випадкової величини $X$ називається стійким, якщо для будь-якого $n\in \mathbb {N}$ існують такі константи $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$, що розподіл випадкової величини $a_{n}+b_{n}$ збігається з розподілом суми:

$a_{n}X+b_{n}=^{\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{n,i}$,

де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини $Y_{n,i}$ розподілені як $X$, тобто $Y_{n,i}\sim \mathbb {P} ^{X},\;i=,\ldots ,n$.

Зауваження

• Якщо $F_{X}$ - функція стійкого розподілу, те $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$, такі що

$F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=F_{X}*\cdots *F(x),\quad \forall x\in \mathbb {R}$,

де $*$ позначає згортку.

• Якщо $\phi _{X}$ - характеристична функція стійкого розподілу, те $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$, такі що

$\phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}$.

Властивості стійких розподілів

• Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді, коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина $X$ може бути межею по розподілі випадкових величин виду ${\frac {S_{n}-b_{n}}{a_{n}}}$, де

$S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i},\;\{Y_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ - незалежні однаково розподілені випадкові величини,

тоді і тільки тоді, коли розподіл $X$ стійкий.

• (Представлення Леви - Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:

$\ln \phi (t)=\left\{{\begin{matrix}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0\\0,&t=0.\end{matrix}}\right.,$

де $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$ і

$G(t,\alpha )=\left\{{\begin{matrix}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1\end{matrix}}\right..$

Див. також

• Безмежно подільний розподіл