Стійкий розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стійкий розподіл у теорії імовірностей - це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.

Визначення[ред.ред. код]

Розподіл \mathbb{P}^X випадкової величини X називається стійким, якщо для будь-якого n\in \mathbb{N} існують такі константи a_n,b_n \in \mathbb{R}, що розподіл випадкової величини a_n+b_n збігається з розподілом суми:

a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i},

де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини Y_{n,i} розподілені як X, тобто Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Якщо F_X - функція стійкого розподілу, те \forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}, такі що
F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R},

де * позначає згортку.

  • Якщо \phi_X - характеристична функція стійкого розподілу, те \forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}, такі що
\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}.

Властивості стійких розподілів[ред.ред. код]

  • Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді, коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина X може бути межею по розподілі випадкових величин виду \frac{S_n - b_n}{a_n}, де
S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty} - незалежні однаково розподілені випадкові величини,

тоді і тільки тоді, коли розподіл X стійкий.

  • (Представлення Леви - Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:
\ln \phi(t) = \left\{
\begin{matrix}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\
0, & t = 0.
\end{matrix}
\right.,

де 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, і


G(t,\alpha) = \left\{
\begin{matrix}
\mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\
\frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1
\end{matrix}
\right..

Див. також[ред.ред. код]