Розподіл Леві

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Леві

Levy distribution PDF
Функція розподілу ймовірностей
Levy distribution CDF
Параметри \mu ; c > 0\,
Носій функції x \in [\mu, \infty)
Розподіл ймовірностей \sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-\mu)^{3/2}}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)
Середнє \infty
Медіана c/2(\textrm{erfc}^{-1}(1/2))^2\,, for \mu=0
Мода \frac{c}{3}, for \mu=0
Дисперсія \infty
Коефіцієнт асиметрії undefined
Коефіцієнт ексцесу undefined
Ентропія \frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}

де \gammaСтала Ейлера—Маскероні

Твірна функція моментів (mgf) невизначена
Характеристична функція e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}

В теорії ймовірностей і математичній статистиці, розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві.

Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів Густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші.

Визначення[ред.ред. код]

Густина імовірності розподілу Леві на множині x\ge \mu визначається

f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}} {(x-\mu)^{3/2}}

де \mu — параметр розміщення, c — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:

F(x;\mu,c)=\textrm{erfc}\left(\sqrt{c/2(x-\mu)}\right)

де \textrm{erfc}(z)доповнююча функція помилок. Параметр \mu зміщує криву вправо на відстань \mu, змінюючи носій функції на множину [\mu, \infty). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:

f(x;\mu,c)dx = f(y;0,1)dy\,

де y визначено як

y = \frac{x-\mu}{c}\,

Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:

\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.

Для \mu=0, the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:

m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx

Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:

M(t;c)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}\,dx

і розбігається для t>0 і, відповідно, теж не є визначеною.

Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:

\lim_{x\rightarrow \infty}f(x;\mu,c) =\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~\frac{1}{x^{3/2}}.

Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при \mu=0 показані в логарифмічному масштабі:

Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.


Повязані розподіли[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний