Розподіл Леві

Леві

Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\mu$ ; $c > 0\,$
Носій функції	$x \in [\mu, \infty)$
Розподіл ймовірностей	$\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-\mu)^{3/2}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)$
Середнє	$\infty$
Медіана	$c/2(\textrm{erfc}^{-1}(1/2))^2\,$, for $\mu=0$
Мода	$\frac{c}{3}$, for $\mu=0$
Дисперсія	$\infty$
Коефіцієнт асиметрії	undefined
Коефіцієнт ексцесу	undefined
Ентропія	$\frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}$ де $\gamma$ — Стала Ейлера—Маскероні
Твірна функція моментів (mgf)	невизначена
Характеристична функція	$e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}$

В теорії ймовірностей і математичній статистиці, розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві.

Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів Густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші.

Визначення

Густина імовірності розподілу Леві на множині $x\ge \mu$ визначається

$f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}} {(x-\mu)^{3/2}}$

де $\mu$ — параметр розміщення, $c$ — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:

$F(x;\mu,c)=\textrm{erfc}\left(\sqrt{c/2(x-\mu)}\right)$

де $\textrm{erfc}(z)$ — доповнююча функція помилок. Параметр $\mu$ зміщує криву вправо на відстань $\mu$, змінюючи носій функції на множину [$\mu$, $\infty$). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:

$f(x;\mu,c)dx = f(y;0,1)dy\,$

де y визначено як

$y = \frac{x-\mu}{c}\,$

Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:

$\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

Для $\mu=0$, the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:

$m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx$

Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:

$M(t;c)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}\,dx$

і розбігається для $t>0$ і, відповідно, теж не є визначеною.

Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x;\mu,c) =\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~\frac{1}{x^{3/2}}.$

Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при $\mu=0$ показані в логарифмічному масштабі:

Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.

Повязані розподіли

• Якщо $X \sim \textrm{Levy}(\mu,c)\,$ тоді $k X + b \sim \textrm{Levy}(k \mu + b ,k c) \,$
• Якщо $X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c)$ тоді $X\,\sim\,\textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})$ (обернений гамма-розподіл)
• Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5.
• Якщо $Y\,\sim\,\textrm{Normal}(\mu,\sigma^2)$ (нормальний розподіл) тоді ${(Y-\mu)}^{-2} \sim\,\textrm{Levy}(0,1/\sigma^2)$
• Якщо $X \sim \textrm{Normal}(\mu,\tfrac{1}{\sqrt{\sigma}})\,$ тоді ${(X-\mu)}^{-2} \sim \textrm{Levy}(0,\sigma)\,$
• Якщо $X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c)$ тоді $X\,\sim\,\textrm{Stable}(1/2,1,c,\mu) \,$ (Стійкий розподіл)
• Якщо $X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c)$ тоді $X\,\sim\,\textrm{Scale-inv-}\chi^2(1,c)$ (Масштабований обернений розподіл хі-квадрат)

Посилання

• «Information on stable distributions». Процитовано July 6 2012.  Особливо An introduction to stable distributions, Chapter 1