Експоненційний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Показниковий розподіл

Probability density function
Функція розподілу ймовірностей
Cumulative distribution function
Параметри \lambda > 0 \, - інтенсивність або зворотність коефіцієнт масштабу
Носій функції x \in [0;\infty)\!
Розподіл ймовірностей \lambda e^{-\lambda x}\,
Функція розподілу ймовірностей (cdf) 1 - e^{-\lambda x}\,
Середнє \lambda^{-1}\,
Медіана \ln(2)/\lambda\,
Мода 0\,
Дисперсія \lambda^{-2}\,
Коефіцієнт асиметрії 2\,
Коефіцієнт ексцесу 6\,
Ентропія 1 - \ln(\lambda)\,
Твірна функція моментів (mgf) \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
Характеристична функція \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,

Показниковий розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

Визначення[ред.ред. код]

Випадкова величина X має експоненційний розподіл з параметром \lambda > 0, якщо її густина має вигляд

f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda \,e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right..

Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом(параметр зсуву x_0)

f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda \,e^{-\lambda (x - x_0)} &,\; x \ge x_0, \\
0 &,\; x < x_0.
\end{matrix}\right..

Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром 1/\lambda:

f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
{1 \over \lambda} \,e^{-{ (x-x_0) \over \lambda}} &,\; x \ge x_0, \\
0 &,\; x < x_0.
\end{matrix}\right..

Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

Приклад. Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний 1/\lambda. Сам параметр \lambda може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.

У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини X задана першим рівнянням, і писатимемо: X \sim \mathrm{Exp}(\lambda).

Функція розподілу[ред.ред. код]

Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу: 
F_X(x) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.

Моменти[ред.ред. код]

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:

\mathrm{M}_x(t)= \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1},

звідки отримуємо всі моменти:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}.
\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda},
\mathrm{D}[X] = \frac{1}{\lambda^2}.

Властивості[ред.ред. код]

Квантилі[ред.ред. код]

Квантильна функція (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу, E(\lambda) записується:

F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}, \!

для 0\le p<1. Отже, квантилі:

перший (25% процентиль) 
\ln(4/3)/\lambda
медіана 
\ln(2)/\lambda
третій (75% процентиль)
\ln(4)/\lambda

Розподіл мінімуму експоненційно розподілених випадкових величин[ред.ред. код]

Нехай X_1,\dots,X_nнезалежні випадкові величини розподілені за експоненційним розподілом з параметрами \lambda_1,\dots,\lambda_n. Тоді


\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\}

також експоненційна випадкова величина з параметром


\lambda = \lambda_1+\cdots+\lambda_n.\,

В цьому можна переконатися розглянувши доповнювальну функцію розподілу:


\begin{align}
\Pr(\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\} > x) & = \Pr\left(X_1 > x \text{,}\dots\text{,}X_n > x\right) \\
= \prod_{i=1}^n \Pr(X_i > x) & = \prod_{i=1}^n \exp(-x\lambda_i) = \exp\left(-x\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).
\end{align}

Індекс змінної, що є мінімумом розподілений згідно з законом

\Pr(X_k=\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\})=\frac{\lambda_k}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}.

Зауважте, що


\max\{\,X_1,\dots,X_n\,\}

не є експоненційно розподілена.

Інші властивості[ред.ред. код]

Якщо розглядати порядкові статистики  \xi_{(1)}, \xi_{(2)}, ...  \xi_{(n)} , з експоненціальним розподілом генеральної сукупності \xi\sim\mathrm{Exp}(1/\lambda,x_0), то випадкові величини  n\xi_{(1)}, (n-i+1)(\xi_{(i)}-\xi_{(i-1)}), i = 2..n є незалежними.[Джерело?]

Експоненційний розподіл у статистиці[ред.ред. код]

Розглянемо генеральну сукупність \xi\sim\mathrm{Exp}(1/\lambda).

Статистика вигляду \hat{\theta}(\xi_{1},\ldots, \xi_{n}) = \bar{\xi} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_{i} є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру \lambda розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність.

Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок. \mathrm{D}[\bar{\xi}] = \frac{1}{n^2}\mathrm{D}[\sum\limits_{i=1}^n \xi_{i}] =\frac{1}{n}\mathrm{D}[\xi] = \frac{\lambda^2}{n} \to 0,  при n \to \infty . Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.

Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: L(\lambda, x_1, \dots, x_n)=\prod\limits_{i=1}^n f_X(\lambda, x_i) = \frac{1}{\lambda^n}e^{-\frac{1}{\lambda} \sum\limits_{i=1}^n x_i}  . Звідси логарифмічна функція правдоподібності: \ln L(\lambda, x_1, \dots, x_n) = -n \ln(\lambda)-\frac{1}{\lambda} \sum\limits_{i=1}^n x_i

\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda, x_1, \dots, x_n) = -\frac{n}{\lambda} +\frac{1}{\lambda^2}\sum\limits_{i=1}^n x_i. Переходимо до випадкової вибірки, маємо: \frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda, \xi_{1}, \dots, \xi_{n}) = -\frac{n}{\lambda} +\frac{n}{\lambda^2}\bar{\xi} = \frac{n}{\lambda^2}(\bar{\xi}-\lambda). А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметку \lambda, то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра \lambda.

Посилання[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний