Логарифмічний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.

Означення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини Y задається функцією ймовірності:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots,

де 0 <p < 1.

Тоді кажуть, що Y має логарифмічний розподіл з параметром p. Пишуть: \ Y \sim \mathrm{Log}(p). Функція розподілу випадкової величини Y кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

F_Y(y) = \left\{
\begin{matrix}
0, & y < 1 & \\
1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots
\end{matrix}\right.,

де \mathrm{B}_p — неповна бета-функція.

Зауваження[ред.ред. код]

Те, що функція p_Y(k) дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1,

звідки

\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1.

Моменти[ред.ред. код]

Твірна функція моментів випадкової величини Y \sim \mathrm{Log}(p) задається формулою

M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]},

звідки

\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p},
\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай \{X_i\}_{i=1}^n послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots. Нехай N \sim \mathrm{P}(\lambda) — Пуассонівська випадкова величина. Тоді

Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}.
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний