Логарифмічний розподіл

Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $Y$ задається функцією ймовірності:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots$,

де $0 <p < 1$.

Тоді кажуть, що $Y$ має логарифмічний розподіл з параметром $p$. Пишуть: $\ Y \sim \mathrm{Log}(p)$. Функція розподілу випадкової величини $Y$ кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

$F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots \end{matrix}\right.$,

де $\mathrm{B}_p$ — неповна бета-функція.

Зауваження

Те, що функція $p_Y(k)$ дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

$\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1$,

звідки

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1$.

Моменти

Твірна функція моментів випадкової величини $Y \sim \mathrm{Log}(p)$ задається формулою

$M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]}$,

звідки

$\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p}$,

$\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}.$

Зв'язок з іншими розподілами

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай $\{X_i\}_{i=1}^n$ послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що $X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots$. Нехай $N \sim \mathrm{P}(\lambda)$ — Пуассонівська випадкова величина. Тоді

$Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}.$